【课程】西南科大网教学院_数学分析28

8.2反常积分的收敛判别法

广义积分一般分为积分区间为无穷的广义积分（即，无穷积分）和被积函数为无界函数的广义积分（即，瑕积分）两种，前面我们介绍了这两种广义积分的定义以及如何利用定义判断这两种积分的敛散性. 那么，除了用定义判断它们的敛散性外，是否有更好的方法对它们的敛散性进行判断？下面我们给出这两种广义积分的敛散性判别的两种简单方法：

广义积分收敛判别法

对于无穷区间上的广义积分，我们有:
比较判别法1. 设

在区间连续,其中. 如果存在常数

>0及

，使得有，则积分收敛；如果存在常数使得有，则积分发散. 对于区间的瑕积分, 我们有上述类似的判别法:

比较判别法2. 设

在区间连续并且, 如果存在常数及，使得, 满足，则积分

收敛；如果存在常数及使得有

，则积分发散.

以这两个判别法为基础,我们容易得到在应用上比较方便的极限判别法:

极限判别法1. 设

是区间的非负连续连续函数, 其中. 如果存在常数，使得存在，则收敛；如果

=>0(或, 则发散.

极限判别法2. 设

是区间的非负连续连续函数, 其中. 如果存在常数，使得存在，则瑕积分收敛；如果存在常数, 使得=>0或=

, 则瑕积分发散.

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