第35期当角平分线遇上平行线

当

角平分线与平行线相遇，会有美好的故事发生，我们拭目以待。

知识准备

（1）如图，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：△ABD是等腰三角形.

证明：

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2

∵AD∥BC

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

AB=AD

改变上述问题的已知和求证，得到如下两个新命题，依然是成立的。

（2）如图，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形，求证：AD∥BC

（3）如图， AD∥BC，△ABD是等腰三角形，求证：BD平分∠ABC

当角平分线与平行线相遇，会有等腰三角形。

如图所示的平行线、角平分线、等腰三角形，知二求一.

例1

如图，BO,CO分别平分∠ABC，∠ACB,OD∥AB, OE∥AC,若BC=15cm，则△ODE的周长为________.

解：如图，易得，△BOD与△COE是等腰三角形，BD=OD,CE=OE

则C△ODE=OD OE DE=BD DE CE=BC=15cm.

例2

如图1，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F.

(1)    图中有______个等腰三角形，请说明BE CF=EF

图1

(2)若AB≠AC,其它条件不变，如图2，图中还有_____个等腰三角形，第（1）问中的EF与BE,CF的关系是否还正确？

图2

解：（2）是（1）的一般情况，在一般情况下，都可以得到如图，

则△OBE与△OCF是等腰三角形，EF=OE OF=BE CF.结论始终成立.

(3)若△ABC中，∠B的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线CO交于O点，过O作OE∥BC交AB于E,交AC于F，如图3，这时图中还有_____个等腰三角形，写出EF与BE,CF的关系，并证明. 

图3

解：如图，

△OBE与△OCF仍然是等腰三角形。EF=OE-OF=BE-CF.

后记：这是个很实用的小结论，中考常出现，在解决选择填空题目时可以直接使用，在解决综合题时，可以定势地得到等腰三角形，节省思考时间，使得思维更加简洁.

中考直击

（2016深圳第15题）平行四边形ABCD中，以B为圆心，任意长为半径作圆弧交AB,BC于P,Q两点，再以P,Q为圆心，以大于1/2PQ的长为半径分别作圆弧交于M,连接BM并延长交AD于E,已知AB=3,BC=5，则DE=_________.

解：由作法，可得BE平分∠ABC,AD∥BC,则△ABE为等腰三角形，AB=AE,DE=AD-AE=AD-AB=5-3=2.