第一章多项式

定义1：设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和,差,积,商(除数不为0)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域。

定义2：设n是一非负整数.形式表达式:anxn +an-1xn-1+…+a2x2 +a1x+ a0(an≠0) 

其中:a0,a1,...,an全属于数域P,称为系数在数域P中的一个一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式。

定义3：如果多项式f(x)与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为

f(x)=g(x).

系数全为0的多项式称为零多项式，记为0.

定义4：所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为P[x],P称为P[x]的系数域.

定义5：数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使等式

f(x)=g(x)|h(x)

成立.我们用g(x)|f(x)表示g(x)整除f(x).

定理1：对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0 , g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.

定义6：设f(x),g(x)是P[x]中两个多项式.P[x]中多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件：

1）d(x)是f(x),g(x)的公因式;

2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。

定理2：对于P[x]中任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个组合,即有P[x]中多项式u(x),v(x)使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

定义7：P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素(也称为互质)的，如果(f(x),g(x))=1.

定理3：P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充分表要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

定理4：如果(f(x),g(x))=1,且f(x)|g(x)h(x),那么f(x)|h(x).

定义8：数域P上次数>=1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式,如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项式乘积.

定理5：如果p(x)是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x).

定义9：不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式,如果pk(x)|f(x),而且pk+1(x)不可整除f(x).