运动线段上动点到定点最值

正文

旋转

在锐角△ABC中，AB=5，AC=4√(2)，∠ACB=45°，

将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，

①求∠CC1A1的度数；

②求四边形A1BCC1的面积；

（2）如图2，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，

在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，

点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

请欣赏动画：

分析

主要考察旋转前后的对应线段和角度相等以及看见特殊角怎么办。

大致思路：

（1）①利用旋转的性质分别求出∠BC1C，∠A1C1B的度数.

②过点A作AD⊥BC于D，首先求出BC，根据四边形A1BCC1的面积=

△CC1B的面积+△A1C1B的面积计算即可.

（2）如图中，过点B作BH⊥AC，H为垂足，

①当P在AC上运动至垂足点H，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小.

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，

EP1最大.分别计算即可解决问题.

视频解答

书写过程

解：（1）①如图1中，

∵由旋转的性质可

得∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°

=90°.

②过点A作AD⊥BC于D，

∵∠ACB=45°

∴∠DAC=45°，

∴AD=CD，

∴在Rt△ADC中，AD=CD==4√(2)÷√(2)

∴在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD=3

∴BC=BD+CD=4+3=7；

∴四边形A1BCC1的面积=△CC1B的面积+△A1C1B的面积

=(1/2)2*7×7+(1/2)*7*4=(77/2)；

（2）如图2中，过点B作BH⊥AC，H为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC÷(2=7√2/2.

①当P在AC上运动至垂足点H，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB上时EP1最小，

最小值为零要.7√2/2-5/2

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，

EP1最大，最大值为5/2+7=19/2

总结：本题考查综合题、旋转变换旋转、锐角三角高的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，看到特殊角构造直角三角形解决问题，

学会取特殊点解决最值问题，属于中考压轴题.