例、已知正方体ABCD的棱长为1,求异面直线与AC的距离。
一、直接利用定义求解
如图1,取AD中点M,连、MB分别交、AC于E、F,连,由平面几何知识,易证,,,则。
由,得⊥平面,则,同理AC⊥,所以,EF⊥,EF⊥AC,即EF为异面直线与AC的距离,故有EF=。
此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解
如图2,连、,则AC∥平面。设AC、BD交于O,、交于,连,作OE⊥于E,由⊥平面知,故OE⊥平面。
所以OE为异面直线与AC的距离。
在△中,,则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解,合理、恰当地转化是解决问题的关键。
三、转化为面面距离求解
如图3,连、、、、,易知平面,则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离,易证⊥、⊥平面,且被平面和平面三等分,又。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解,巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。
四、构造函数求解
如图4,在上任取一点E,作EM⊥AD于M,再作MF⊥AC于F,连EF,则∠EMF=。
设MD=,则ME=,AM,在中,∠FAM=,则
所以
,
当且仅当时,EF取最小值。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是选取恰当的自变量构造函数,即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
五、利用体积变换求解
如图5,连、、,则∥平面,设异面直线与AC的距离为,则D到平面的距离也为。
易知,。
由,
得。
所以,则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将异面直线的距离转化为锥体的高,然后利用体积公式求之。
六、利用向量求解
如图6,AB为异面直线、的公垂线段,为直线AB的方向向量,E、F分别为直线、上的任意一点,则。
证明:显然=,,。
所以,
所以,
所以,即,
所以。
把上述结论作为公式来用,即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。
建立如图7所示的空间直角坐标系,易知,=(-1,1,0),
(-1,0,0)。
设异面直线、AC的公垂线的方向向量为,由,,得解得故可取。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是利用公式求解,具有不必作出公垂线段的特点,合理、恰当地建立空间直角坐标系,常能使问题变得简单易解。
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