已知正方体ABCD
的棱长为1，求异面直线
与AC的距离。
一、直接利用定义求解
作出异面直线的公垂线段。
如图1，取AD中点M，连
、MB分别交
、AC于E、F，连
，由平面几何知识，易证
，
，
，则
。
由
，
得
⊥平面
，则
，同理AC⊥
，所以，EF⊥
，EF⊥AC，即EF为异面直线
与AC的距离，故有EF=
。
二、转化为线面距离求解
将线线距离问题转化为线面距离问题来解。
如图2，连
、
，则AC∥平面
。设AC、BD交于O，
、
交于
，连
，作OE⊥
于E，由
⊥平面
知
，故OE⊥平面
。
所以OE为异面直线
与AC的距离。
在
△
中，
，则
。
所以异面直线
与AC的距离为
。
三、转化为面面距离求解
将线线距离问题转化为面面距离问题来解。
如图3，连
、
、
、
、
，易知平面
，则异面直线
与AC的距离就是平面
与平面
的距离，易证
⊥
、
⊥平面
，且
被平面
和平面
三等分，又
。
所以异面直线
与AC的距离为
。
四、构造函数求解
选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
如图4，在
上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=
。
设MD=
，则ME=
，AM
，在
中，∠FAM=
，则
所以
，
当且仅当
时，EF取最小值
。
所以异面直线
与AC的距离为
。
五、利用体积变换求解
将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。
如图5，连
、
、
，则
∥平面
，设异面直线
与AC的距离为
，则D到平面
的距离也为
。
易知
，
。
由
，
得
。
所以
，则
。
所以异面直线
与AC的距离为
。
六、利用向量求解
如图6，AB为异面直线
、
的公垂线段，
为直线AB的方向向量，E、F分别为直线
、
上的任意一点，则
。
证明：显然
=
，
，
。
所以
，
所以
，
所以
，即
，
所以
。
把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。
建立如图7所示的空间直角坐标系，易知
，
=（-1，1，0），
（-1，0，0）。
设异面直线
、AC的公垂线的方向向量为
，由
，
，得
解得
故可取
。
所以异面直线
与AC的距离为
。
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