具有一下形式的微分方程叫做「一阶线性微分方程」
一般来说,未知函数的各阶导数都只有最多一项的时候,方程是「线性」的。如果没有最后的项,则方程叫做「齐次」的。
一个线性微分方程的解由齐次解和特殊解组成。
先来看齐次方程:
我们可以得到:
两边积分可以得到:
最后得到解:
由于是任意常数,也是任意常数,我们直接用代替,可以得到:
当方程为非齐次的时候,也就是的时候,我们可以令,也就是
把它带入原始方程可以得到:
整理可得:
求解可得
最后得到非齐次方程的求解:
当并且有初始条件的时候,齐次方程有解:
我们把在附近展开,可以得到:
旋转矩阵有一个性质:
两边对求导有:
也就是:
这就说明是一个反对沉矩阵。我们可以找到使得
两边都乘以有:
这是一个一阶线性微分方程,我们可以得到:
在附近,我们认为是个常数,那么就可以有在附近的导数:
这就是一个一阶线性微分方程,变形可得:
可以得到
我们附加一个条件的时候可以得到,这样
❝我们一定需要注意,这个公式需要满足两个条件才能成立:
❞
; 在附近,只有在这附近,才能用代替。
也就是说,在单位矩阵处的导数和反对称矩阵对应;旋转矩阵可以通过反对称矩阵的指数映射得到。
在处,只要是一个常数,我们的指数映射都可以表示矩阵。我们经常使用如下定义
这样。
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