拟微分算子 3.2 作用于sobolev空间

对于Sobolev空间的定义和基本性质，请参考:拟微分算子 1.3 sobolev空间。特别地，我们在推论1.19中证明了具有系数在 $H^{\infty}$ 中的 $m$ 阶微分算子将 $H^s$ 连续映射到 $H^{s-m}$ ，其中 $s \in \mathbf{R}$ 。这个性质可以推广到任意阶数 $m \in \mathbb{R}$ 的拟微分算子。

定理3.6

设 $a \in S^m$ ，那么对于每个 $s \in \mathbb{R}$ ，存在一个常数 $C_s$ 使得对于所有 $u \in H^s$ ，都有 $a(x, D)u \in H^{s-m}$ ，且 $\|a(x, D)u\|_{s-m} \leq C_s\|u\|_s$ 。

证明：首先假设我们已经证明对于任意 $b \in S^0$ ，存在常数 $C_b$ 使得

$\|b(x, D)\psi\|_0 \leq C_b\|\psi\|_0 \quad \text{对于所有} \psi \in \mathcal{S}。$

然后，如果 $a \in S^m$ 且 $s \in \mathbb{R}$ ，我们可以取 $b=\lambda^{-s} \# a^* \# \lambda^{s-m} \in S^0$ ，利用命题1.20，对于 $\varphi \in \mathcal{S}$ ，我们得到

因此，对于所有 $u \in H^s$ 和 $\varphi \in \mathcal{S}$ ，根据命题1.15,

$|(a(x, D) u, \varphi)|=\left|\left(u, a^*(x, D) \varphi\right)\right| \leq\|u\|_s\left\|a^*(x, D) \varphi\right\|_{-s} \leq C_b\|u\|_s\|\varphi\|_{m-s}。$

，这意味着 $a(x, D) u \in H^{s-m}$ 且 $\|a(x, D) u\|_{s-m} \leq C_b\|u\|_s$ ，证毕。

因此，我们只需要证明估计 $\|b(x, D)\psi\|_0 \leq C_b\|\psi\|_0$ ，其中 $b \in S^0$ 。这将分为三个步骤进行：首先当 $b \in S^{-n-1}$ 时，然后当 $b \in S^m$ （其中 $m<0$ ），最后是一般情况 $b \in S^0$ 。

(i) 阶数为 $-n-1$ 的算子。设 $b \in S^{-n-1}$ ， $\psi \in \mathcal{S}$ 。因为所有以下积分都是绝对收敛的（根据条件 $b \in$ $S^{-n-1}$ ，参见引理1.3）,我们有

其中

注意到 $\lambda^{n+1+|\alpha|} \partial_{\xi}^\alpha b$ 是有界的，核函数 $K(x, y)$ 满足对于任意的 $\alpha \in \mathbf{Z}_{+}^n$

因此，我们有 $\left(1+|x-y|^2\right)^n|K(x, y)| \leq C / \pi^n$ ，其中 $C$ 是某个常数，从而

$\int|K(x, y)| d x \leq C \quad \text { and } \quad \int|K(x, y)| d y \leq C。$

然后结果就可以从下面的引理中得到，这个引理被称为Schur引理。

引理3.7 Schur引理

设 $K(x, y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ 上的可测函数，满足

其中 $C$ 是一个统一的界。那么对于任意的 $\psi \in L^2$ ，几乎所有的 $x$ ，都有 $K(x, y) \psi(y) \in L^{\prime}(d y)$ ，并且函数 $\varphi(x)=\int K(x, y) \psi(y) d y$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上是平方可积的，且 $\|\varphi\|_0 \leq C\|\psi\|_0$ 。

证明: 函数 $K(x, y) \psi(y) \overline{K(x, z) \psi(z)}$ 在 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ 上是可积的，因为 $|\psi(y) \bar{\psi}(z)| \leq \frac{1}{2}\left(|\psi(y)|^2+|\psi(z)|^2\right)$ 且

因此，根据Fubini定理，对于几乎所有的 $x$ ，有 $K(x, y) \psi(y) \in L^1(d y)$ ，并且

(ii) 负阶算子。由于 $\cup_{m<0} S^m=\cup_{k \in Z} S^{-1 / 2^k}$ ，我们只需证明对于符号 $b \in S^{-1 / 2^k}$ ，对于所有的 $k \in \mathbb{Z}$ ，都有 $\|b(x, D) \psi\|_0 \leq C_b\|\psi\|_0$ ，这可以通过对 $k$ 进行归纳来证明。实际上，根据步骤 (i)，对于某个负的 $k$ ，例如 $k=-n$ ，这是成立的。然后，如果 $b \in S^{-1 / 2^{k+1}}$ ， $b^* \# b \in S^{-1 / 2^k}$ ，我们可以写成

通过使用递推假设，可得 $\|b(x, D) \psi\|_0 \leq C_b\|\psi\|_0$ ，其中 $C_b=$ $C_{b^*\# b}^{1 / 2}$ .

(iii) 零阶算子。如果 $b \in S^0$ ，则 $b$ 是有界的且 $|b|_0^2-|b|^2 \in S^0$ 是非负的。我们可以选择一个函数 $F \in C^{\infty}(\mathbb{C})$ ，使得对于 $z \in \mathbb{R}_{+}$ ，有 $F(z)=(1+z)^{1 / 2}$ ，根据引理 2.1，可知 $a=\left(1+|b|_0^2-\right.$ $\left.|b|^2\right)^{1 / 2}=F\left(|b|_0^2-|b|^2\right) \in S^0$ 。其中 $a^*=\bar{a}$ 且 $a^* \# a=|a|^2$ 模 $S^{-1}$ ，因此有

$a^* \# a+b^* \# b=1+|b|_0^2+c \quad \text {其中 } c \in S^{-1} \text {. }$

因此，我们可以写成

由于 $c \in S^{-1}$ 满足 $\|c(x, D) \psi\|_0 \leq C_c\|\psi\|_0$ ，根据步骤 (ii)，得到 $\|b(x, D) \psi\|_0 \leq C_b\|\psi\|_0$ 。 $\blacksquare$

根据定理 3.6 的结论，我们可以证明负无穷阶算子是平滑的（这解释了定义 3.4 中使用的术语），并且拟微分算子不增加奇异支集（即所谓的拟局部性质）。由于椭圆算子（即具有椭圆符号的算子）在模平滑算子下是可逆的，它们也不减少奇异支集。后面这个属性被称为拟椭性。

推论 3.8

如果 $a \in S^{-\infty}$ ，那么 $a(x, D)$ 将 $\mathcal{E}^{\prime}$ 映射到 $\mathcal{S}$ ，将 $\mathcal{S}^{\prime}$ 映射到 $\mathcal{P}$ ；同样地，如果 $a \in S^{\infty}$ ，那么 $a(x, D)$ 将 $\mathcal{S}$ 映射到 $\mathcal{S}$ ，将 $\mathcal{P}$ 映射到 $\mathcal{P}$ 。最后，任意拟微分算子 $a(x, D) \in \Psi^{\infty}$ 都具有拟局部性质

$\operatorname{sing} \operatorname{supp}(a(x, D) u) \subset \operatorname{sing} \operatorname{supp} u \quad$ 对于所有的 $u \in \mathcal{S}^{\prime}$ ，

如果 $a$ 是椭圆的，则甚至有 $\operatorname{sing} \operatorname{supp}(a(x, D) u) = \operatorname{sing} \operatorname{supp} u$ .

证明: 对于 $a \in S^{-\infty}$ 和 $u \in \mathcal{E}^{\prime}$ ，我们有对于某个 $N \in \mathbb{Z}_{+}$ ,存在某个 $\psi \in C_0^{\infty}$ （如果 $\psi=1$ 在 supp $u$ 的附近），使得 $u=\psi u$ 。根据引理 1.16有 $u \in H^{-N}$ .根据定理 3.6，我们得到 $a(x, D) u \in H^n$ ，其中只包含有界连续函数（参见命题 1.14(ii)）。使用与定理 3.1 证明中相同的论证，我们现在可以将 $x^\alpha \partial^\beta(a(x, D) u)$ 写成一些项的线性组合 $\left(\partial_x^\gamma \partial_{\xi}^\delta a\right)(x, D)\left(x^{\alpha-\delta} \partial^{\beta-\gamma} u\right)$ ，这些项由于相同的原因是有界连续函数，因此我们得到 $a(x, D) u \in \mathcal{S}$ 。

如果现在 $u \in \mathcal{S}^{\prime}$ ，我们可以写成

$D^\alpha(a(x, D) u)=b_\alpha(x, D) u \quad \text {其中} b_\alpha=\xi^\alpha \# a \in S^{-\infty} .$ 根据引理 1.16，存在一个 $N \in \mathbb{Z}_{+}$ ，使得 $v=\left(1+|x|^2\right)^{-N} u \in$ $H^{-N}$ 。因此，

（参见例子 3.5(ii)），对于所有的 $\alpha$ 和 $\beta$ ，我们仍然有 $\partial_{\xi}^\beta b_\alpha \in S^{-\infty}$ 。由于根据定理 3.6， $\left(\partial_{\xi}^\beta b_\alpha\right)(x, D) v$ 在 $H^n$ 中，所以是一个有界连续函数，从而 $D^\alpha(a(x, D) u)=b_\alpha(x, D) u \in \mathcal{P}^0$ 。

然后，如果 $a \in S^m$ ，根据定理 3.1，我们知道 $a(x, D)$ 将 $\mathcal{S}$ 映射到 $\mathcal{S}$ 。如果 $u \in \mathcal{P}$ ，我们首先注意到因为 $\lambda^{2 k}(D)$ 是一个具有常系数的微分算子,对于任何 $k \in \mathbb{Z}_{+}$ ， $\lambda^{2 k}(D) u \in \mathcal{P}^0$ 。因此，存在一个 $N \in \mathbb{Z}_{+}$ （取决于 $k$ ），使得 $v=\left(1+|x|^2\right)^{-N} \lambda^{2 k}(D) u \in L^2$ （参见引理 1.3）。因此，对于任何固定的 $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^n$ ，我们取 $k$ 使得 $2 k \geq m+|\alpha|+n$ ，这意味着 $b_\alpha=\xi^\alpha \# a \# \lambda^{-2 k} \in S^{-n}$ 。然后我们有

在这里，我们有 $\partial_{\xi}^\beta b_\alpha \in S^{-n}$ 和 $v \in L^2=H^0$ ，所以根据定理 3.6， $\left(\partial_{\xi}^\beta b_\alpha\right)(x, D) v \in H^n$ ，我们可以像上面那样得出结论。

对于伪局部性质，设 $a \in S^{\infty}$ ， $u \in \mathcal{S}^{\prime}$ ，并且设 $\Omega=\mathbb{R}^n \backslash$ sing supp $u$ 。那么对于所有的 $\psi \in C_0^{\infty}(\Omega)$ ，都有 $\psi u \in C_0^{\infty}$ ，对于任意的 $\varphi \in C_0^{\infty}(\Omega)$ ，可以找到一个 $\psi \in C_0^{\infty}(\Omega)$ 使得 $\psi=1$ 在 $\operatorname{supp} \varphi$ 附近，并且可以写成

第一项在 $\mathcal{S}$ 中，因为 $\psi u \in C_0^{\infty} \subset \mathcal{S}$ ，第二项可以重写为 $b(x, D) u$ ，根据渐近展开式 $\#$ 的性质（定理 2.7），由于 $\varphi a$ 和 $1-\psi$ 的支集不相交,有 $b=\varphi a \#(1-\psi) \in S^{-\infty}$ 。因此，我们得到对于所有的 $\varphi \in C_0^{\infty}(\Omega)$ ， $\varphi a(x, D) u \in C^{\infty}$ ，由此推出 $a(x, D) u \in C^{\infty}(\Omega)$ 或者 sing supp $(a(x, D) u) \subset \operatorname{sing} \operatorname{supp} u$ 。

最后，如果 $a$ 是椭圆的，存在一些 $b \in S^{\infty}$ 和 $r \in S^{-\infty}$ ，使得 $b \# a-1=r$ ，那么 $u=b \# a(x, D) u-r(x, D) u$ ，其中 sing supp $(b \# a(x, D) u) \subset$ sing supp $(a(x, D) u)$ ，并且根据上面的证明， $r(x, D) u \in \mathcal{P}$ 。这表明 sing supp $u \subset$ sing supp $(a(x, D) u)$ 。

在定理3.2中，我们建立了算子操作和符号操作之间的联系。下面的陈述将给出符号估计和算子估计之间的联系。在这个结果的最简单版本中（称为Gårding不等式），假设符号 $a \in S^{2m}$ 满足椭圆型估计 $\operatorname{Re} a(x, \xi) \geq \epsilon \lambda^{2m}(\xi)$ 对于所有 $|\xi| \geq 1 / \epsilon$ 和一些 $\epsilon>0$ 成立（参见定理2.10(iv)）。由于在 $|\xi| \leq 1 / \epsilon$ 时， $a$ 是有上界的且 $\lambda^{2m-1}$ 是有下界的，这个假设显然意味着 $\operatorname{Re} a+C_0 \lambda^{2m-1} \geq \epsilon \lambda^{2m}$ 在任何地方都成立，其中 $C_0$ 是一个大常数，并且反过来，如果这个后面的估计成立，可以证明Re $a$ 满足一个具有较小 $\epsilon>0$ 的椭圆型估计。因此，在我们的陈述中，我们将使用这种更方便的假设形式。

定理3.9 Gårding不等式

设 $a \in S^{2m}$ ，并假设存在 $C_0$ 和 $\epsilon>0$ 使得 $\operatorname{Re} a+C_0 \lambda^{2m-1} \geq \epsilon \lambda^{2m}$ （特别地，当 $\operatorname{Re} a(x, \xi) \geq \epsilon \lambda^{2m}(\xi)$ 对于 $|\xi| \geq 1 / \epsilon$ 时满足该假设）。那么对于任意 $N \geq 0$ ，存在常数 $C_N$ 使得

$2 \operatorname{Re}(a(x, D) \varphi, \varphi) \geq \epsilon\|\varphi\|_m^2-C_N\|\varphi\|_{m-N}^2 \quad \text { 对于所有 } \varphi \in \mathcal{S}$

证明：我们设 $b=\lambda^{-m} \# a \# \lambda^{-m} \in S^0$ 。由于 $b=\lambda^{-2m} a$ 模 $S^{-1}$ ，对于 $a$ 的假设意味着存在常数 $C_1$ 使得 $\operatorname{Re} b+\left(C_0+C_1\right) \lambda^{-1} \geq \epsilon$ ，因此 $b$ 本身满足定理中 $m=0$ 的假设。如果我们暂时假设当 $m=0$ 时结果已经被证明了，那么对于 $\varphi \in \mathcal{S}$ ，我们可以写成

（参见命题1.20）。因此，只需要在 $m=0$ 的情况下证明定理。

因此假设 $a \in S^0$ 且 $\operatorname{Re} a+C_0 \lambda^{-1} \geq \epsilon$ 。我们可以选择一个函数 $F \in C^{\infty}(\mathbb{C})$ ，使得对于 $z \in \mathbb{R}_{+}$ ， $F(z)=((\epsilon / 2)+z)^{1 / 2}$ ，并且由于 $2(\operatorname{Re} a+\left.C_0 \lambda^{-1}-\epsilon\right) \in S^0$ 是非负的，根据引理2.1，我们有 $b=(2 \operatorname{Re} a+\left.2 C_0 \lambda^{-1}-(3 / 2) \epsilon\right)^{1 / 2}=F\left(2\left(\operatorname{Re} a+C_0 \lambda^{-1}-\epsilon\right)\right) \in S^0$

我们可以写成模 $S^{-1}$ 的形式： $b^* \# b=2 \operatorname{Re} a-(3 / 2) \epsilon=a+a^*-(3 / 2) \epsilon$ ，这意味着

$a+a^*=b^* \# b+\frac{3}{2} \epsilon+c \quad \text { 其中 } c \in S^{-1} \text {. }$

然后对于 $\varphi \in \mathcal{S}$ ，

其中 $C_{1 / 2}$ 是某个常数。因此，最终结果将来自于估计

$C_{1 / 2}\|\varphi\|_{-1 / 2}^2 \leq \frac{\epsilon}{2}\|\varphi\|_0^2+C_N\|\varphi\|_{-N}^2 \quad \text { 其中 } C_N=\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{2 C_{1 / 2}}{\epsilon}\right)^{2 N}$

可以通过以下方式证明：当 $C_{1 / 2} \lambda^{-1}(\xi) \geq \epsilon / 2$ 时，有 $\lambda(\xi) \leq 2 C_{1 / 2} / \epsilon$ ，然后

这意味着

通过乘以 $|\hat{\varphi}|^2$ 并进行积分，可得到估计。 $\blacksquare$

我们简单地指出，在定理3.9中，当假设中的 $\epsilon$ 被0替换时，仍然可以取 $N=1 / 2$ 得到相同的结果。这个更强的版本被称为尖锐的Gårding不等式，它的证明并不需要比我们现在所学的理论更多的知识，但是它太长，太技术性，在这门基础课程中无法给出。因此，我们只是将感兴趣的读者引荐给Hörmander的[8, 定理18.1.14]。甚至还有更尖锐的估计由Melin以及Fefferman和Phong提出。

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