也来说说——神奇的“莫尔圆”

关键词：莫尔圆   平面应力转换

“莫尔圆”其实是由德国工程师莫尔（1835-1918）提出的一种计算最大正应力（即主应力）、最大剪应力的一种数学方法。

“莫尔圆”可用于平面应力状态，也就是二维应力状态的计算，也可以用于三维应力状态（如图1所示）的计算。前者比较好理解，咱们从这里开始，抽丝剥茧地聊聊莫尔圆的来龙去脉。

平面应力转换

平面应力转换是个非常重要的概念。听着有点绕口不太好理解，其实它是直译于英文“transformation of plane stress”。

通俗些说就是：构件受到外荷载作用时，某一点的应力状态，会随着外荷载作用造成的构件变形而同时发生旋转，达到一个新的应力状态，这就是所谓的“平面应力转换”。

莫尔圆的作用，就是用来计算平面应力转换之后的应力状态下的正应力、剪应力的大小，进而判定材料是否失效。

因此，理解了平面应力转换就理解了莫尔圆的一半。

图1   三轴应力状态

既然是先聊聊平面应力状态，我们必然要假设图1中Q点的z方向正应力σ_z以及zx平面剪应力τ_zx、τ_xz和zy平面的剪应力τ_zy、τ_yz均为0，如图2点Q所示。

图2   平面应力状态

图2中包含x、y方向的正应力σ_x、σ_y，以及xy平面的剪应力τ_xy，此即为Q点的“平面应力状态”。

在受到外荷载作用时，Q点同样会随着构件变形而绕z轴发生旋转，假设旋转角度为θ，旋转之后Q点达到新的平面应力状态，如图3所示，包含x、y方向的正应力σ_x'、σ_y'，以及x'y'平面的剪应力τ_x'y'，此即为Q点新的“平面应力状态”。

图3   新平面应力状态

这个时候就引出新的问题：如何计算σ_x'、σ_y'、τ_x'y'？

图3中x'、y'是新平面应力状态下Q点轴线，在图2的Q点上截取一个角度同样为θ的斜截面（如图4所示），那么y'必然与这个斜截面平行。

图4   选取θ角斜截面

再取斜截面面积为ΔA，那么斜截面沿y轴方向的投影面积为ΔAsinθ，沿x轴方向的投影面积为ΔAcosθ。

应力与面积之积是力，那么图4中的三个面积乘以各自对应的应力就转换成了各个方向的力，如图5所示。

图5   斜截面受力分析

有关图5，小编多说一句为什么这里没有考虑σy'。这是因为图5计算的是斜截面上的力，σy'是正应力，在这个斜截面上并不存在（虽然方向一致，但是大小为0，斜截面同方向只能存在剪力）。

x'轴方向合力为0：

σ_x'ΔA-σ_x(ΔAcosθ)cosθ-τ_xy(ΔAcosθ)sinθ-σ_y(ΔAsinθ)sinθ-τ_xy(ΔAsinθ)cosθ=0  公式1

y'轴方向合力为0：

τ_x'y'ΔA+σ_x(ΔAcosθ)sinθ-τ_xy(ΔAcosθ)cosθ -σ_y(ΔAsinθ)cosθ+τ_xy(ΔAsinθ)sinθ=0  公式2

将公式1、公式2简化之后，得到：

σ_x'=σ_xcos²θ+σ_ysin²θ+2τ_xysinθcosθ  公式3

τ_x'y'=-(σ_x-σ_y)sinθcosθ+τ_xy(cos²θ-sin²θ)  公式4

而sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos²θ-sin²θ，那么公式3、公式4又可以进一步简化成：

σ_x'=(σ_x+σ_y)/2+cos2θ(σ_x-σ_y)/2+τ_xysin2θ  公式5

τ_x'y'=-sin2θ(σ_x-σ_y)/2+τ_xycos2θ  公式6

同理可得：

σ_y'=(σ_x+σ_y)/2-cos2θ(σ_x-σ_y)/2-τ_xysin2θ  公式7

这时，把公式5和公式7左右相加可得：

σ_x'+σ_y'=σ_x+σ_y  公式8

说到这里，我们发现：平面应力转换之后，平面应力之和并不会随着Q点旋转而发生改变。

把上面的公式5、公式6进行移项、求平方、相加之后，得到：

[σ_x'-(σ_x+σ_y)/2]²+τ²_x'y'=[(σ_x-σ_y)/2]²+τ²_xy  公式9

把x、y方向的平均正应力设为σ_ave，公式9右侧设为R²，那么有：

σ_ave=(σ_x+σ_y)/2，R²=[(σ_x-σ_y)/2]²+τ²_xy  公式10

那么公式9就可以变换成：

(σ_x'-σ²_ave)²+τ²_x'y'=R²  公式11

可以看出来，公式11本质上是以坐标（σ_ave,0）为圆心、半径为R的圆，如图6所示，这个圆就莫尔圆的雏形。

图6   莫尔圆

下篇帖子再深度说说图6里各个参数的含义。

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