专题12 计数原理
易错点1 分类计数时考虑不全
1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．应用分类加法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．
易错点2 未选准分步依据
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
（2）完成每一步有若干方法;
（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．
易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件
易错点4 重复计数与遗漏计数
1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.
无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.
2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.
解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻（k<=n-k+1），求不同排法种数的方法是：先将n-k个元素排成一排,然后把k个元素插入n-k+1个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.
易错点5 要正确区分分堆与分配问题
易错点6 混淆项的系数与项的二项式系数
答案解析
【名师点睛】本题考查二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度.
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