九上数学人教第二十二章单元测试卷含答案

九上数学人教第二十二章单元测试卷

第二十二章　二次函数

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)

1.函数y=-

x²+3与y=-

x²-2的图象的不同之处是(　　)

A.对称轴   B.开口方向

C.顶点 D.形状

2.(2022·浙江湖州期中)已知抛物线y=(x-3)²+c经过点A(2,0),则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(　　)

A.(3,0) B.(-4,0)

C.(-8,0) D.(4,0)

3.(2022·湖北鄂州梁子湖区期中)根据表格中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax²+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是(　　)

x	0	0.5	1	1.5	2
y=ax^2+bx+c	-1	-0.5	1	3.5	7

A.0<x<0.5   B.0.5<x<1

C.1<x<1.5   D.1.5<x<2

4.(2022·北京西城区期中改编)若A(-1,y₁),B(1,y₂),C(4,y₃)三点都在二次函数y=-(x-2)²+k的图象上,则y₁,y₂,y₃的大小关系为(　　)

A.y₁<y₂<y₃  B.y₁<y₃<y₂

C.y₃<y₁<y₂  D.y₃<y₂<y₁

5.(2022·浙江温州期中)小杰把压岁钱500元按一年期存入银行,已知年利率为x,一年到期后银行将自动把本金和利息再转存一年.设两年到期后,本利和为y元,则y与x之间的函数关系式为(　　)

A.y=500(x+1)²  B.y=x²+500

C.y=x²+500x    D.y=x²+5x

6.(2021·广东广州番禺区期中)若二次函数y=x²-6x+5,当2≤x≤6时的最大值是n,最小值是m,则n-m=(　　)

A.3 B.5 C.7 D.9

7.[与一元二次方程综合]若二次函数y=ax²-1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)²-1=0的根为(　　)

A.x₁=0,x₂=4 B.x₁=-2,x₂=6

C.x₁=

,x₂=

D.x₁=-4,x₂=0

8. 新风向 新定义试题(2022·河南驻马店期中)定义:若两个函数图象与x轴存在共同的交点,则这两个函数为“共根函数”.如y=x²-4与y=(x+1)(x-2)的图象与x轴的共同交点为(2,0),那么这两个函数就是“共根函数”.若y=2x²-4x与y=x²-3x+m-1为“共根函数”,则m=(　　)

A.1 B.1或2

C.1或3    D.2或3

9.(2022·浙江绍兴期中)已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.abc>0

B.b-a>c

C.3a>-c

D.a+b<m(am+b)(m≠1)

10.(2021·河南模拟)如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,当点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为(　　)

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)

11.(2022·北京西城区期中)已知y=(m+2)x^|m|+2是y关于x的二次函数,那么m的值为　　　　. 

12.(2022·浙江湖州段考)将二次函数y=x²的图象平移,使它经过点(2,0),则平移后所得图象对应的函数解析式可以是　　　　　　　.(写出一个即可) 

13.(2022·吉林长春宽城区期末)在平面直角坐标系中,将二次函数y=-x²+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折,所得新函数的图象如图所示(实线部分).若直线y=b与新函数的图象恰有3个公共点,则b的值是　　　　. 

(第13题)　　

(第15题)

14.(2022·安徽皖东南四校联考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的函数解析式为y=60t-

t².则在飞机着陆滑行过程中,最后2 s滑行的距离是　　　　m. 

15.(2021·四川绵阳涪城区)如图,抛物线y=

x²-

x+5与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,在其对称轴上有一动点M,连接MA,MC,AC,则当△MAC的周长最小时,点M的坐标是　　　　. 

三、解答题(共6小题,共55分)

16.(7分)(2022·江苏苏州姑苏区期中)把抛物线C₁:y=-x²-2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C₂.

(1)求抛物线C₂的解析式.

(2)点P(a,1)是否在抛物线C₂上?请说明理由.

17.(8分)(2022·安徽安庆期中)某小区计划建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为a米的墙,另三边用总长为79米的篱笆围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,并在BC边上留有一扇1米宽的门.设AD边的长为x米,矩形花圃的面积为S米².

(1)求S与x之间的函数关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)若a=30,求S的最大值.

18.(9分) 新风向 探究性试题(2022·河南南阳市第十二中学校月考)某班“数学兴趣小组”对函数y=x²-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.

(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:

x	…	-3	-	-2	-1	0	1	2		3	…
y	…	3		m	-1	0	-1	0		3	…

其中,m=　　　　. 

(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现:

①函数图象与x轴有　　　　个交点,所以对应的方程x²-2|x|=0有　　　　个实数根; 

②方程x²-2|x|=2有　　　　个实数根. 

19.(10分) 新风向 探究性试题如图,在小明的一次投篮中,球出手时离地面高2米,与篮筐中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线,篮筐中心距离地面3米,通过计算说明此球能否投至篮筐中心.(不考虑篮球大小和篮球的反弹)

探究一:若出手的角度、力度和高度都不变,则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心?

探究二:若出手的角度、力度和高度都发生改变,但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变,则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心?

20.(10分)(2022·浙江杭州外国语学校月考)某产品每件成本为25元,经过市场调研发现,这种产品在未来20天内的日销售量m(单位:件)是关于时间t(单位:天)的一次函数,调研所获的部分数据如表.

时间t/天	2	3	10	20
日销售量m/件	96	94	80	60

这20天中,该产品每天的售价y(单位:元/件)与时间t(单位:天)的函数解析式为y=

t+30(t为正整数).

(1)求m关于t的函数解析式.

(2)这20天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?

(3)在实际销售的20天中,每销售一件商品就捐赠a元(a<6)给希望工程,通过销售记录发现,这20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求a的取值范围.

21.(11分)(2021·重庆大渡口区春招)如图,若抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x-3经过点B,C.

(1)求二次函数的表达式.

(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC.

①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由.

②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

第二十二章　二次函数答案

1.C　对比函数y=-

x²+3与y=-

x²-2可知,两者的二次项系数相同,一次项系数均为0,所以两抛物线的开口方向相同、形状相同,对称轴也相同.因为抛物线y=-

x²+3的顶点坐标为(0,3),抛物线y=-

x²-2的顶点坐标为(0,-2),所以两者的顶点不同.

2.D　∵抛物线y=(x-3)²+c经过点A(2,0),∴(2-3)²+c=0,解得c=-1.∴抛物线的解析式为y=(x-3)²-1.令y=0,即(x-3)²-1=0.解得x=2或x=4.∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0).

 优解：∵抛物线的对称轴为直线x=3,其中一个交点坐标为(2,0),∴由抛物线的对称性可知,另一个交点坐标为(4,0).

3.B　

4.B　二次函数y=-(x-2)²+k的图象开口向下,对称轴为直线x=2,当抛物线开口向下时,到对称轴的距离越远的点对应的函数值越小.因为|-1-2|>|4-2|>|1-2|,所以y₁<y₃<y₂.故选B.

另解：(直接代入法)将x=-1,1,4分别代入y=-(x-2)²+k,得y₁=-9+k,y₂=-1+k,y₃=-4+k,所以y₁<y₃<y₂.

5.A

6.D　原式可化为y=(x-3)²-4,可知二次函数的顶点坐标为(3,-4).因为2<3<6,所以最小值m=-4.当y=0时,x²-6x+5=0,解得x₁=1,x₂=5.如图,当x=6时,y=36-36+5=5,即n=5.则n-m=5-(-4)=9.

7.A　把(-2,0)代入二次函数y=ax²-1,得4a-1=0,解得a=

,所以

(x-2)²-1=0,解得x₁=0,x₂=4.故选A.

另解： 因为二次函数y=ax²-1的图象的对称轴为y轴,所以根据二次函数图象的对称性,可得该图象也经过点(2,0),所以ax²-1=0的根为-2或2.把二次函数y=ax²-1的图象向右平移2个单位长度得到二次函数y=a(x-2)²-1的图象,所以关于x的方程a(x-2)²-1=0的根为-2+2=0或2+2=4.

8.C　令y=2x²-4x=0,即2x(x-2)=0,解得x=0或x=2,∴函数y=2x²-4x与x轴的交点为(0,0),(2,0).(分类讨论思想)当两个函数图象同时过点(0,0)时,则m-1=0,解得m=1;当两个函数图象同时过点(2,0)时,则4-6+m-1=0,解得m=3.

9.B　∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴为直线x=1,∴-

=1,∴b=-2a,b>0.由图象可知c>0,∴abc<0,故A选项错误.当x=-1时,y=a-b+c<0,∴b-a>c,故B选项正确.∵b=-2a,a-b+c<0,∴a+2a+c<0,即3a<-c,故C选项错误.当x=1时,y的值最大,此时y_最大=a+b+c;当x=m时,y=am²+bm+c,∴a+b+c>am²+bm+c(m≠1),故a+b>am²+bm,即a+

b>m(am+b),故D选项错误.

10.A　(分类讨论思想)当0<x<2时,如图(1),设AC与DE的交点为G,易知△CEG是等边三角形,∴y=S_△CEG=

·x·

=

x²,该段抛物线开口向上,对称轴为y轴.当2<x<4时,如图(2),设AB与DF的交点为H,BF=CE-2(CE-EF)=-CE+2EF=4-x,易知△BFH是等边三角形,∴y=S_△BFH=

·(4-x)·

=

(x-4)²,该段抛物线开口向上,对称轴为直线x=4.特殊地,当x=2时,△ABC与△DEF完全重合,y的值最大,为

×2×

=

.当x=0或4时,y=0.故选A.

　　　　               　图(1)　　　　　　　　图(2)

11.2　∵y=(m+2)x^|m|+2是y关于x的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0,解得m=2.

12.y=x²-4(或y=x²-4x+4,答案不唯一)　设二次函数y=x²的图象沿y轴平移后得到y=x²+b.∵经过点(2,0),∴0=4+b,解得b=-4,∴沿y轴平移后所得图象对应的函数解析式是y=x²-4.设二次函数y=x²的图象沿x轴平移后得到y=(x-a)²,将点(2,0)代入,解得a=2,∴沿x轴平移后所得图象对应的函数解析式是y=(x-2)²=x²-4x+4.

13.-4

图解： (数形结合思想)如图,原二次函数y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,∴顶点C(1,4),翻折后点C的对应点为D(1,-4).当直线y=b与新函数的图象恰有3个公共点时,直线y=b过点D,此时b=-4.

14.6　因为y=60t-

t²=-

(t-20)²+600,所以当t=20时,飞机着陆后滑行600 m才能停下来, t的取值范围是0≤t≤20.当t=18时,y=594,600-594=6(m),故在飞机着陆滑行过程中,最后2 s滑行的距离是6 m.

15.(2,

)　(转化思想)如图,易知点A与点B关于抛物线的对称轴对称,连接CB交抛物线的对称轴于点M,则点M即为所求点令

x²-

x+5=0,解得x=1或3.令x=0,则y=5,故A(1,0),B(3,0),C(0,5),所以抛物线的对称轴为直线x=

(1+3)=2.设直线BC的解析式为y_BC=kx+b,则

解得

故直线BC的解析式为y_BC=-

x+5.当x=2时,y_BC=

,所以点M(2,

).

16.【参考答案】(1)∵y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4,

∴把抛物线C₁:y=-x²-2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C₂:y=-(x+1-4)²+4-5,即y=-(x-3)²-1,(3分)

∴抛物线C₂的解析式为y=-(x-3)²-1.(4分)

(2)不在.(5分)

理由:∵抛物线C₂的解析式为y=-(x-3)²-1,

∴函数的最大值为-1.(6分)

∵点P的纵坐标为1>-1,

∴点P(a,1)不在抛物线C₂上.(7分)

17.【参考答案】(1)AB边长为

=(40-

x)米,

根据题意得S=(40-

x)x=-

x²+40x,(3分)

∴S与x之间的函数关系式为S=-

x²+40x.(4分)

(2)由(1)知,S=-

x²+40x=-

(x-40)²+800,(5分)

∵-

<0,

∴当x≤40时,S随x的增大而增大.

∵x≤a,a=30,

∴当x=30时,S有最大值,最大值为750.(8分)

18.【参考答案】(1)0(2分)

解法提示:把x=-2代入y=x²-2|x|,得y=0,

所以m=0.

(2)如图所示.

　　　

(4分)

(3)①函数y=x²-2|x|的图象关于y轴对称;

②当x>1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一)(6分)

(4)①3　3(8分)

②2(9分)

19.【参考答案】∵抛物线的顶点坐标为(4,4),

∴设抛物线的表达式为y=a(x-4)²+4.(2分)

∵抛物线过点(0,2),∴2=16a+4,

∴a=-

,∴y=-

(x-4)²+4,

当x=7时,y=-

+4=

≠3,

∴此球不能投至篮筐中心.(4分)

探究一:设向前移动h米,由题意可得y=-

(x-4-h)²+4,

代入点(7,3),得3=-

(7-4-h)²+4,

解得h₁=3-2

,h₂=3+2

(不合题意,舍去).

即向前平移(3-2

)米,可投至篮筐中心.(7分)

探究二:设y=m(x-4)²+4.

投至篮筐中心,即代入点(7,3),得3=m(7-4)²+4,

解得m=-

,

∴y=-

(x-4)²+4,

当x=0时,y=

,

-2=

,

即小明出手的高度要增加

米,可将篮球投至篮筐中心.(10分)

20.【参考答案】(1)设m=kt+b(k≠0),

将(2,96)和(3,94)代入,得

解得

(2分)

∴m关于t的函数解析式为m=-2t+100.(3分)

(2)设日销售利润为w元,

根据题意得w=(

t+30-25)(-2t+100).(4分)

化简,得w=-

t²+15t+500.(5分)

∵-

<0,对称轴为直线t=-

=15,

∴当t=15时,w最大,

此时w=-

×15²+15×15+500=612.5.

答:第15天的日销售利润最大,为612.5元.(6分)

(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为n元.

根据题意,得n=(

t+30-25-a)(-2t+100)=-

t²+(15+2a)t+100(5-a),(7分)

∵-

<0,

∴抛物线开口向下,对称轴为直线t=-

=15+2a.

∵要使每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,

∴15+2a≥20,解得a≥2.5.

又a<6,∴2.5≤a<6.(9分)

答:a的取值范围是2.5≤a<6.(10分)

21.【思路导图】

【参考答案】(1)∵直线y=x-3经过点B,C,当x=0时,y=-3,当y=0时,x=3,

∴B(3,0),C(0,-3).

将B,C两点的坐标代入y=x²+bx+c,

得

解得

故二次函数的表达式为y=x²-2x-3.(3分)

(2)设M(x,x-3),则P(x,x²-2x-3).

①线段PM有最大值.(4分)

PM=(x-3)-(x²-2x-3)=-(x-

)²+

.

∵-1<0,

∴PM有最大值.

当x=

时,PM最大为

.(6分)

②存在.(7分)

PM²=(x-3-x²+2x+3)²=(-x²+3x)²,

PC²=x²+(-3-x²+2x+3)²=x²+(2x-x²)²,

MC²=(x-3+3)²+x²=2x².

当PM=PC时,(-x²+3x)²=x²+(2x-x²)²,

解得x₁=2,x₂=0(舍去),

∴P(2,-3).(8分)

当PM=MC时,(-x²+3x)²=2x²,

解得x₁=3-

,x₂=0(舍去),x₃=3+

(舍去),

∴P(3-

,2-4

)

综上,点P的坐标为(2,-3)或(3-

,2-4

).(11分)