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梯形中常见辅助线的作法
梯形中常见辅助线的作法
湖北省黄石市下陆中学 陈 勇

梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。可以通过适当地添加辅助线,构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明,希望对同学们有所帮助。

 

一、平移对角线:平移一条对角线,使之经过梯形的另一个顶点。

 

1 如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,ACBD,梯形的高CF10,求梯形ABCD的面积。

                                       

分析:由于等腰梯形ABCD的对角线ACBDAC=BD,所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形,通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等,因此只需求出三角形的面积即可。

:过点CCEDBAB的延长线于点E.

DCAE ;∴四边形CDBE为平行边形;DB=CE,DC=BE

∵梯形ABCD为等腰梯形;AD=BC,AC=BDAC=CE

ADCCBESADC=SCBES梯形ABCD= SACE

ACBDCEDBACCE;∴ACE为等腰直角三角形

CF为高, CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线

CF=10AE=20

S梯形ABCD= SACE=

AE×CF=
×20×10=100

 

二、平移一腰或两腰:平移一腰,使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点;或者同时移动两腰使它们交于一点。

 

2 如图,等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长,那么这个梯形较小的一个内角是(  )

                                    

A.9O°   B.6O°   C.45°   D.30°

解析:由条件“两底之差等于一腰的长”,可平移一腰。如图所示平移 DCAEAEBCE。可知BE= BC-AD=AB.又AB=DC=AE.故 AB=BE=AE,ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B

 

3 如图,在梯形ABCD中,ADBCAD<BCEF分别为ADBC的中点,且EFBC。求证:∠B=C

                                        

解析:要证∠B=C,可把它们移到同一个三角形中,利用等腰三角形的有关性质加以证明。

过点EEHABEGDC,分别交BCHG

ADBC四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。

AE=BHED=GC。又EF分别为ADBC的中点,所以AE=EDBF=FC

BH=GC,BF-BH= FC-GC,从而FH=FG.EFBC,所以EH=EG,故   EHF=EGF,得∠B=C

 

三、延长两腰:将梯形两腰延长相交构造三角形。

 

4 在梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=BCD=60°,AD+BC=30BD平分∠ABC,求梯形的周长。

解析:延长两腰相交于点 E,如图,因为∠ABC=BCD=60°,故∠E=60°,△BCE为等 边三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE,所以CD=

BC。又ADBC,故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.AD+BC=30,CD+2CD=30,CD=10

                                           

梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50

 

四、作梯形的高:过梯上底的两个端点分别作梯形的高。

 

5 已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是      

 

解析:如图,梯形ABCD中,∠B=C=60°, AD=3cmAB=DC=4cm,过点AD分别作AEBCDFBC,垂足分别为EF则有∠BAE=CDF=30°,BE=FC=

AB=2 cm

                                         

  BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

 

梯形中添加辅助线的方法有很多,同学们在学习的过程中还须活学活用,也可以以口诀的形式记忆下来:“移动梯形对角线,两腰之和成一线;平行移动一条腰,两腰同在现;延长两腰交一点,中有平行线;作出梯形两高线,矩形显示在眼前;已知腰上一中线,莫忘作出中位线”。

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