梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。可以通过适当地添加辅助线,构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明,希望对同学们有所帮助。
一、平移对角线:平移一条对角线,使之经过梯形的另一个顶点。
例1 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10,求梯形ABCD的面积。
分析:由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD,所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形,通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等,因此只需求出三角形的面积即可。
解:过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E.
∵DC∥AE ;∴四边形CDBE为平行边形;∴DB=CE,DC=BE
∵梯形ABCD为等腰梯形;∴AD=BC,AC=BD;∴AC=CE
∴△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE;∴S梯形ABCD= S△ACE
∵AC⊥BD,CE∥DB;∴AC⊥CE;∴△ACE为等腰直角三角形
∵CF为高, ∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线
∵CF=10,∴AE=20
∴S梯形ABCD= S△ACE= AE×CF=×20×10=100
二、平移一腰或两腰:平移一腰,使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点;或者同时移动两腰使它们交于一点。
例2 如图,等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长,那么这个梯形较小的一个内角是( )
A.9O° B.6O° C.45° D.30°
解析:由条件“两底之差等于一腰的长”,可平移一腰。如图所示平移 DC到AE,AE交BC于E。可知BE= BC-AD=AB.又AB=DC=AE.故 AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。
例3 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC.AD<BC,E、F分别为AD、BC的中点,且EF⊥BC。求证:∠B=∠C。
解析:要证∠B=∠C,可把它们移到同一个三角形中,利用等腰三角形的有关性质加以证明。
过点E作EH∥AB,EG∥DC,分别交BC于H、G。
∵AD∥BC,∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。
∴AE=BH,ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点,所以AE=ED,BF=FC
∴BH=GC,BF-BH= FC-GC,从而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG,故 ∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
三、延长两腰:将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠ABC,求梯形的周长。
解析:延长两腰相交于点 E,如图,因为∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°,△BCE为等 边三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE,所以CD=BC。又AD∥BC,故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。
∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。
四、作梯形的高:过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5 已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是 。
解析:如图,梯形ABCD中,∠B=∠C=60°, AD=3cm,AB=DC=4cm,过点A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°,BE=FC=AB=2 cm。
∴ BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).
梯形中添加辅助线的方法有很多,同学们在学习的过程中还须活学活用,也可以以口诀的形式记忆下来:“移动梯形对角线,两腰之和成一线;平行移动一条腰,两腰同在“△”现;延长两腰交一点,“△”中有平行线;作出梯形两高线,矩形显示在眼前;已知腰上一中线,莫忘作出中位线”。
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