梯形中常见辅助线的作法

湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。

 

一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。

 

例1　如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。

                                       

分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。

解：过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E.

∵DC∥AE ；∴四边形CDBE为平行边形；∴DB=CE,DC=BE

∵梯形ABCD为等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE

∴△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD= S△ACE

∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE为等腰直角三角形

∵CF为高, ∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线

∵CF=10，∴AE=20

∴S梯形ABCD= S△ACE=

AE×CF=

×20×10=100

 

二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。

 

例2　如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是(  )

                                    

A.9O°　　 B.6O°　　 C.45°　　 D.30°

解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移 DC到AE，AE交BC于E。可知BE= BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故 AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。

 

例3　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。

                                        

解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。

过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G。

∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。

∴AE=BH，ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC

∴BH=GC,BF-BH= FC-GC，从而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG，故   ∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。

 

三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。

 

例4　在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。

解析：延长两腰相交于点 E，如图，因为∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE为等 边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=

BC。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。

                                           

∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。

 

四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。

 

例5　已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是       。

 

解析：如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°， AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=

AB=2 cm。

                                         

∴  BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

 

梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。