四川理
10.在抛物线上取横坐标为
、的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：令抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A．
14．双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是_____．
答案：16
解析：离心率，设P到右准线的距离是d，则，则，则P到左准线的距离等于．
21．（本小题共l2分）
椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，则椭圆方程为．
直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为，联立得，
设，，则，，，
．
由已知得，解得，
所以直线l的方程为或．
（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．
设直线l的方程为（且），所以P点的坐标为．
设，，由（Ⅰ）知，，
直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
方法一：
联立方程设，解得，
不妨设，则
，
因此Q点的坐标为，又，∴．
故为定值．
方法二：
联立方程消去y得，
因为，所以与异号．
又，
∴与异号，与同号，∴，解得．
因此Q点的坐标为，又，∴．
故为定值．
四川文
3．圆的圆心坐标是
（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)
答案：D
解析：圆方程化为，圆心(2，－3)，选D．
21．（本小题共l2分）
过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．
椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得
，解得，代入直线的方程得 ，所以，
故．
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为．代入椭圆方程得．
解得，代入直线的方程得，
所以D点的坐标为．
又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得
因此，又．
所以．
故为定值．
天津理
5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【解】解法1．由题设可得双曲线方程满足，即．
于是．
又抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则
，于是．
所以双曲线的方程．故选Ｂ．
解法2．因为抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则．由此排除Ａ，Ｃ．
又双曲线的一条渐近线方程是，则，由此又排除Ｄ，故选Ｂ．
13．已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为 ．
【解】．
把直线（为参数）化为普通方程为，与轴的交点为．
于是圆心的坐标为；
因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，
因此．
所以圆的方程为．
20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且．求的值．
【解】（Ⅰ）由得，再由得．
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，
所以，则，
解方程组得．所以椭圆的方程．
（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得.设点的坐标为，
由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。
于是两点的坐标满足方程组
由方程组消去并整理得 ，
因为是方程的一个根，则由韦达定理有：，
所以，从而。
设线段的中点为，则的坐标为．
下面分情况讨论：
(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．
于是，，由得．
(2) 当时，线段的垂直平分线方程为
．
令得，由，，
．整理得．．所以．
综上，或．
解法2．若轴，则,;
若直线的中垂线斜率存在,设，
则直线中垂线方程： ．
令，则，
因为在椭圆上，则，
因此．
．
整理得，解得，（舍）．
，所以．
于是．综上，或．
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