形数结合，相辅相成

 

　　有这样一道题：

　　如图1，矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形，现在只知道中间一个小正方形的面积是1，求矩形ABCD的面积。

　　题目本身是关于图形的知识，但是又无法用几何方法解决。数学中常常会遇到这样一些问题，需要用代数方法去解，则不但思路清晰，而且解法多样。

　　解法1：如图1，设小正方形的各边的长分别为x、y、z、t，则可得方程组

                     

                                  图1  

　　 所以矩形ABCD的面积=AD·DC=(2x+y(x+t)=13×11=143。

　　解法2：如图2，设其中一个正方形的边长DE=x，则其余各正方形的边长如图所示。这时，

                               

                                             图2 

　　由矩形ABCD的对边AD=BC，可得

　　x+x+(x+1)=(x+2)+(x+3),可解得x=4； 

　　类似地，由带阴影部分的正方形的对边的关系，也可得x+x-1=x+3,从而解得x=4。

　　依然可以求得矩形ABCD的面积为143。

　　顺便指出：到初二学习了一元二次方程以后，我们还可以通过面积关系解决此题。

　　大家知道，数学研究的对象是表和数两个方面，虽然这两个方面被分别纳入代数、几何两个学科中，但形和数之间特别是在生产、生活实践中，它们总是相辅相成的，我们常常需要借助数与形的互相转换来解决问题。因而，在我们刚刚开始学习中学数学时，就应该建立这种形、数结合的概念。