“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学
张奠宙1，郑振初2
（1．华东师范大学数学系，上海200241;2．香港教育学院，香港）
摘要：数学教育中的“四基”是指：基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验，“四基”模块的类型主要有：概念型综合模块、定理证明型模块、问题解决型模块、突出“数学思想方法”的模块、突出数学基本数学活动经验的模块、突出基本技能演练的模型、定理证明中的综合运用型模块、实际情境创设中的四基模块、积累数学经验的模块、形成重大数学方法的模块．
关键词：双基；四基：教学模块；数学思想方法教学
中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1004-9894( 2011) 05-0016-04
中国数学教育，一向以双基（基本知识和基本技能）的掌握作为重要诉求．1980年代徐利治先生倡导“数学方法论”，数学思想方法教学进入课堂．晚近以来，许多有识之士建议增加为四基，即增加基本思想方法和基本活动经验，现在，这一建议已经在《9年义务制数学课程标准（修订稿）》征求意见
时正式采纳，而且在数学教育界有高度的认同感．
那么，“四基”之间的关系如何？怎样进行”四基“教学？都是重要的研究课题．这里试图诠释“四基”之间的关系，构建“四基”数学教学模块，并借助案例进行阐述．
多年来，数学思想方法本身的研究非常丰富，但是如何在课堂上进行数学思想方法的教学规律，研究的文献非常少．研究者借助四基数学模块的构建，着重探讨基本数学思想方法的教学途径，寻求和其它“三基”的融合，希冀能够在课堂上落实基本数学思想方法的教学，为发扬中国数学教育特色提供一些新的思路．
“四基”并非孤立地存在着，而是互相链接，形成你中有我、我中有你的交错局面．“四基”的基本形式是一个3维的模块．学生头脑里的数学大厦，是在一个个的基础模块之上建立起来的，
这里，给出四基数学教学模块的示意图．
2006年，在宁波举办的数学教师进修班上，曾经提出过“双基数学模块”的建议【l】，实际上，这个模型已经超出了“双基”范围，涉及到了“三基”，即：
第一维度，基本数学知识的积累过程；
第二维度，基本数学技能的演练过程；
第三维度，基本数学思想方法的形成过程．
这样一来，“四基”中前“三基”就已经形成了一个3维的“数学基础模块”．那么第四个“基本”——基本数学活动经验应该放在哪里呢？基本数学活动经验本身并不构成一个单独的维度．而是充填在3维模块中间的粘合剂，事实上，数学教学是数学活动的教学，学生通过无处不在的基本数学活动获得的经验，与数学基本知识、基本能力、基本思想方法交织在一起，渗透在整体数学学习过程之中，如图1所示．
图l四基模块示意图
数学基础模块有大小之分．例如方程，是一个大的基础模块，一元一次方程则是一个较小的模块．彼此有从属关系，正如人有神经系统、循环系统、消化系统、呼吸系统等许多重要部分，而人的各个系统又是由各种不同的脏器作为组成部分，进一步，各种脏器又以细胞作为载体，数学也是如此，
这一模块的构建，可说是中国数学课堂教学的一个典型模式，其中既有扎扎实实打基础的内容，也有提炼数学思想方法的发展部分，在整个活动中，借助变式练习，积累数学活动经验，显示了中国数学教育的特色．
在一堂数学教学课中，知识的获得、技能的训练，数学方法的提炼，互相交叉渗透，没有单纯的知识，也没有脱离知识的技能．至于数学方法，建筑在知识和技能之上，但也会具有独立的价值，而学生在学习过程中获得的数学活动经验，则以上述“三基”为载体．
那么，以上的“四基”数学模块，是如何形成的呢？
数学内容是各不相同的，弗赖登塔尔指出，数学知识有两类：程序性的算法知识和思辨性知识[2]，程序性又可以分为语言表示（如符号表示，书写格式）程序、操作性的变换程序（如解方程的同解变换）和运算规则（如负负得正）等部分，思辨性的知识也有概念形成和定理的建立和演绎证明、反思等不同的类别，但是，无论哪一种数学基础，都是“四基”相互作用的结果，只是形成的过程彼此不同、机制互相有异．因此，四基模块形式也是多种多样的，以下将就各种类型的四基模块进行探讨，并结合一些案例进行分析．
案例1概念型综合模块：一元一次方程，
本案例的四基呈现顺序是：基本知识的掌握一练习获得基本技能一通过反思获得基本思想方法，在整个学习过程中，收获基本数学经验．具体过程如下．
一元一次方程是形如ax+b=cx+d的代数式，其中x是未知数，a、b、c、d都是已知常数，这是基本知识，目标是求出满足此等式的未知数的“值”．于是有移项、合并同次项等操作，使之变换成ax=b的形式，最后得出x=b/a(a≠0)．这些操作则是一种技能．于是，在这两个维度的基础上，大量的变式练习（数学活动）获得了基本经验．
数学教学并没有停留在这一水平上，而是不断地提升各种数学思想方法．其中包括：
●化归方法．化到ax=b的标准型，
●未知到已知的转换：方程知识的方法论分析．
●变化的过程是“同解”的，即x的值是不变的，变化中的“不变”思想方法，
●方程解法和算术解法的区别．如果将未知数比喻成“河对岸的宝物”，那么算术方法是正面探究，摸着石头过河，一步步接近宝物，方程方法，则是用带钩的绳子和宝物拉上关系，然后一步步地将宝物“拉过来”．二者的思想路线是相反的．
最后，提升到方程是一种关系：方程是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系，解方程就是通过关系找出未知数．这样一来，如何寻求未知数（解方程）的数学活动经验，就自然地获得了．
总之，“一元一次方程”基础模块的构成过程是：从基本知识和基本技能的结合开始，通过大量解题的活动获得经验，并不断地将之提升为数学思想方法．前后呼应，形成一个四基数学模块．进一步，这一模块将来可以和一元二次方程、二元一次方程组、函数与曲线方程等模块综合在一起，构成更大的“方程”四基模块，
案例2定理证明型模块：勾股定理，
此课的展现顺序如下．掌握勾股定理的内容与证明一从文化的角度进行欣赏获得数学思想方法的价值一进行变式练习，掌握基本技能，具体过程如下：
首先，用边长为3、4、5的直角三角形引入新课内容，猜想勾股定理内容并加以证明．这是基本知识． 然后，利用多媒体展现勾股定理的文化价值：
●中国古代的陈子定理；
●古希腊《几何原本》中的证明；
●赵爽的代数方法证明；
●2002年国际数学家大会的会标；
●和外星人通讯使用的图案；
●华罗庚等建议采用勾股定理的名称．
数学的文化欣赏，是数学思想方法的重要组成部分，它能揭示数学思想的本源，数学长生的社会背景，提高数学文化素养，数学欣赏，也是一种反思，整理学过的知识，使之立体化、具象化、历史化，在课堂上欣赏勾股定理之后，还要进行大量的变式练习，运用勾股定理解决一系列的问题，作为一种基本技能和经验留存在脑海里，形成四基模块．
案例3 问题解决型模块：中位线定理的一题多解，
本课题的四基呈现顺序是：简单地提出中位线定理一进行一题多解的训练一在解题活动中获得证明方法的多样性体验．
中位线定理，是初中几何教学的精品内容之一，为我国数学教师所钟爱（但在许多国家的数学课程中已经没有了）．此定理貌似简单，证明却必须增添补助线或变换图形，绕个弯子才能得出证明．
一般认为，此定理有4种证明方法：(1)延长中线法，(2) 180度移动上部三角形法，(3)平行四边形法，(4)面积法，
这一内容的主题是学习一题多解的证明方法，它既是基本知识，又是基本技能，也是数学方法，更是数学思维活动的体验．
以下几个案例往往“一基”为主，比较单纯， 案例4突出“数学思想方法”的模块：对顶角相等．
这是初中平面几何入门教学模块中的一个小模块，定理 “对顶角相等，”如图2，两条直线相交，那么角A等于角B．
这个定理当然也属于基本数学知识，可是这太简单了！一眼就看出来了！这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？
请注意，在世界名著、欧几里得编写的《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15.证明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根据公理3(“等量减等量，其差相等”)，所以A=B.
这一证明方法当然也属于基本数学技能．但是重要的价值不在“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明，
因此，这一模块的主题是基本数学方法的教学：理解从公理（基本事实）出发，进行逻辑推理的演绎证明，在教学中，要从“不必证明”提升到需要证明，会使学生感到理性的震撼，进一步，要分析产生这种思维方式的社会文化背景，古希腊是奴隶制国家，当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治．由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）．既然是平等的民主政治，彼此间的不同意见需要说服对方．为了说明自己坚持的是真理，就需要理性证明，对顶角相等，就是在这样的背景下产生的．
古希腊奴隶主的民主政治，和中国奉行的皇帝君的王权政治，是有根本区别的．对顶角相等在古希腊需要证明，在中国却认为无需证明．在春秋战国时期，只有对君王管理国家有用的数学（如丈量田亩、计算赋税等），才会得到数学家的重视，对顶角相等，对王权没有用处，所以中国古代数学没有“对顶角相等”这样的内容．
由此可见，在对顶角相等这一小模块中，数学思想方法的价值和文化背景处于核心地位，基本数学知识和基本数学技能则相对次要．学生在这个模块里得到的“理性震撼”，则是基本数学活动经验的重要组成部分．
案例5突出数学基本数学活动经验的模块：负负得正．19世纪德国数学家汉克尔早就告诉人们：在形式化的算术中，“负负得正”是不能证明的．虽然可以从整数公理出发导出负负得正，但那也不过是用人为的公理设置保证其成立而已从数学本源上看，负负得正，是前人提出的一项人为的α规定．这里没有什么情景可以创设，作为基本知识接受下来就是．这是一种基本技能，但操作起来也非常方便．至于负负得正的数学思想方法，则要提升到“有理数系”的公理化的高度来认识，在基础教育中难以实现．剩下的问题是如何调动学生已有的知识经验来帮助他们确认和理解．既然这种确认的手段不能用逻辑证明法，也不能从现实情景中得到证实（用火车向东的路程为正、向西为负；12时以后为正、以前为负的例子，往往越说越糊涂）．以下借助一些生活常理，即日常生活经验作比拟，以求学习者能相信、接受这一规则，例如：
●反面的反面是正面；
●不得不做就是要做；
●左的反面是右，右的反面又是左；
●敌人的敌人是朋友；
●折纸活动，折过去再折回来回到原地．
根据这些道理，可以使学生确认负负得正。事实上，将日常经验转化为基本数学活动经验。体验了，合理解释了，接受了就好，无需证明．
案例6突出基本技能演练的模型：因式分解【4】．
因式分解是将代数式进行“和差化积”的基本技能．这项技能绝难引入“实际情景”加以诠释，也没有方法在一开始就阐明因式分解的意义和价值（往往到一元二次方程求解时才显出其作用），完全是为以后的代数方程的求解做准备的．但是，如何进行因式分解，则和数学思想方法紧密相关，李庾南老师设计了3个尝试题： (1)a2b+ ab2，(2) x2-4，(3)m2－m－．
让学生尝试将这些具体的代数式设法进行“和差化积”．学生可以成功也可能失败，于是李庾南教师进行启发诱导：我们能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”运用 平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？经过点拨，学生恍然大悟，将这3个尝试题中的多项式 化成了两个单项式的相乘．有了“公式和规律”逆向使用的基本数学方法作为指导，因式分解的本质就显得十分简单了，以后的任务便是大量的变式练习，学习技巧，形成熟练的因式分解运算能力．因式分解模块，技能训练为主，点睛之笔是“逆向思维方法，在课堂上只有几分钟，意义非凡，
案例7定理证明中的综合运用型模块：正弦定理．正弦定理是高中三角学中的—个基本定理：在△ABC中，有
近来的一些公开课上，让学生量一量3边之长，3个角的正弦值，作比，诱导出要求的结果．这是败笔，要让学生掌握真正的数学思想方法，就应当让学生观察高h进入模块构造阶段：
(1) 同一个h，可以有两种不同的表示(如图3)
(2) sinB=
同一对象的两种不同表示， 相当于在两个不同的事物之间架起了彼此联系的桥梁，这时，往往是数学发现的契机，这一数学方法是学习正弦定理的有机组成部分．
(2)借助面积重复“同一对象两种表示”的数学方法．
由三角形的面积公式得出：
(3)联系平面几何的定理：三角形大角对大边，小角对小边．这是定性的结果，正弦定理则是定量的结论．在锐角情形，大角的正弦值大，小角的正弦值小，但是3个边长与其对角的正弦之比是定值，这又是一种数学思想方法的解说．
(4)如果将角B、C的正弦sinB、sinC看做是AB、AC在h上投影所打的折扣率（投影之后都变短了）．那么正弦定理的内涵看得更加深刻．
以上的说明，就是用数学思想方法不断地加深对数学知识的理解．
(5)分类讨论，对于钝角三角形的讨论，若△ABC的B为钝角(如图4).
CD上AB，交AB于D，则
这样，就以数学思想方法与数学基本知识的交叉中（辅之以一定量的练习，这里不赘）构建起来一个四基数学模块．
案例8实际情境创设中的四基模块：巨人的手．
H．弗赖登塔尔有一个关于相似形的著名情景[5].“昨晚一位外星人访问我校，在黑板上留下了一个巨大的手印，今晚他还要来，请问他看的书有多大？坐的椅子有多高？”
这一情景诱发出一系列的基本数学活动，同时有交替地运用数学思想方法，结合基本知识和基本技能的培养，构成四基数学模块．以下是一个具体的步骤设计：巨人的手好大哎！他用的书一定也很大．（素朴的相似数学方法，与生活常识发生联想）到底大多少，看巨人的手比我的手大多少就行了．（相似数学思想的量化）
那就量一量吧，量出巨人和我的中指的长度作为标准．（测量的技能，也是数学活动）
现在量得了巨人的中指长a，我的中指长b，还有我的数学书的宽度c．那就可以推出巨人所看书的宽度d了．（这是相似比的知识和相似变换数学方法，比的计算技能．） 同样可以推出书的长度e．（类比数学方法，计算技能）最后，把巨人要用的书的长度和宽度画在黑板上．（数学基本活动）
这些数学活动中渗透着丰富的数学思想方法．教学中适当地提炼、总结、使得生动活泼的数学活动，充满着数学方法的氛围．四基数学模块就建立起来了．
案例9积累数学经验的模块：立体几何与奖杯制作．
基本数学经除了在日常数学探究、演练、反思中积累之外，还应该主动设计一些课堂活动，帮助学生体察数学之美，数学思维之妙，
一个很好的例子是在学习球体、柱体、椎体之后，用这些几何图形制作本班运动会的奖杯，既要美观，还要注明各个部分的尺寸．这是数学和人文相结合的教学案例．（上海华东师大二附中郑耀星提供）
案例10形成重大数学方法的模块：坐标系与数形结合．
笛卡儿坐标系的建立，是重要的基本数学知识和基本数学技能，也为数形结合的数学思想方法提供了舞台．建立直角坐标系是一个重要的四基模块．这是一个螺旋上升的过程，其中充满了许多数学思想方法的运用，不过常常被忽略．
第一循环：坐标表示位置．第几排第几座可以确定一个位置，来源于生活常识，不教也会．许多课程设计花费大量时间操练实属多余，不过，这毕竟是数学结合思想的起点，
第二循环：原点的建立．生活中是没有0排，也没有0座的．但是，刻度尺是从零开始的，如果教室中学生的课桌是从1排1座开始，那么教师应当问，老师的讲台是第几排：0排．学过分数就知道坐标可以是小于1的分数，所以要从零开始画坐标．（这里有数系构造的思想．）
第三循环：初中引入负数以后，涉及数直线．这时，实数和数直线之间建立一一对应成为基础，其证明涉及线段的不可公度理论，非常纷繁．不求证明，当作教学平台接受下来就是了，但是数学思想方法的要点不可忽略，完整的数直线概念是数形结合思想的产物，
第四循环：表示数学对象．坐标方法的价值不能限于确定位置这样的浅近理解，必须提升到“表示数学对象”的高度来认识．上海长宁区的老师，初中坐标系的课程设计，是把课桌椅并拢，将两根带箭头的长绳直角交错，以某同学为原点，于是学生都有一对数作为坐标了．然后令两个坐标都是负数的同学站起来（第三象限），两个坐标相等的同学站起来（一条直线）等，这是数形结合思想的精髓，
第五循环：表示函数图像，数学结合思想的主要运用，
第六循环：曲线与方程．解析几何，数学结合思想的高峰．
第七循环：数学结合思想的熟练运用．一个教师编拟了这样的一道题“已知：a、b、c∈ R+，求证：
用代数方法让学生碰得头破血流，最后迫使学生使用三角形两边大于第三边的几何思考方法来解决此题，数形结合方法在这一时刻作点拨，效益大增，坐标系和数形结合思想构成的模块，始于生活常识和小学，一直延伸到高中的解析几何，是多次循环的结果．
以上初步探讨了“四基”互相模块的形成，特别是注意数学思想方法这一维度的介入和展开，只有把数学思想方法嵌入日常的教学之中，成为教师备课的有机组成部分，四基数学教学才能真正落到实处．
[参考文献]
[1]张奠宙．中国数学双基教学【M].上海：上海教育出版社，2006.
[2]弗赖登塔尔，作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1999.
[3]王建磐，中国数学教育：传统与现实[Ml.南京：江苏教育出版社，2009.
[4]杨九俊，李庾南教学流派论稿【M].南京：江苏科学技术出版社，2011.
[5]徐斌艳，数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
摘自《数学教育学报》2011第5期
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