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张奠宙先生离开我们已经一年了。华东师范大学《数学教学》杂志在“继承与发展”栏目陆续刊发新青年数学教师工作室成员文章，解读张奠宙先生关于数学教育的名言，缅怀张先生，继承与发扬张先生的数学教育思想。
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张志勇.数学方法的四个层次——张奠宙先生数学教育名言解读[J].数学教学，2019(12)：47-50.
文章回顾了张奠宙先生对数学思想方法的含义与层次(分类)的论述，以及为我们开展数学思想方法教学指明的方向。数学方法的四个层次
——张奠宙先生数学教育名言解读
张志勇(江苏省常州市第五中学，新青年数学教师工作室)
名言：数学方法有四个层次：基本的和重大的数学思想方法，与一般科学方法相应的数学方法，数学中特有的方法，中学数学中的解题技巧.
出处：张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996：5-6.
数学思想方法是对数学知识内容及其所使用方法的本质认识，学习数学从根本上讲就是获得数学的思想和方法，因为“数学中最主要的成分始终是思想方法，真正能够指导思维训练作用的是数学方法而不是具体的题材，因而必须强调方法，并尽可能使之明确．”(弗赖登塔尔)．数学教学中关注数学思想方法的提炼，既是中国数学教育的传统优势也是我们的独创；到目前为止，西方的数学教育界，还没有像我们这样地关注数学思想方法，也还没有能够直接与之对应的数学教育研究课题[1]．张奠宙先生对数学思想方法做过深入研究并有许多精彩论述，比如“什么是数学思想方法”、“数学方法的四个层次”、“如何开展数学思想方法的教学”等.“四基”数学教学模块，可说是中国数学课堂教学的一个典型模式．张奠宙先生在给出“双基数学模块”的基础之上，构建了“四基”数学教学模块。如图1所示，“四基”的基本形式是一个包括基本数学知识的积累过程、基本数学技能的演练过程、基本数学思想方法的形成过程的3维模块，而基本数学活动经验则是充填在3维模块中间的粘合剂[2]．在一堂数学教学课中，知识的获得、技能的训练、数学方法的提炼相互交叉渗透，既有扎扎实实打基础的内容，也有提炼数学思想方法的发展部分，借助变式练习积累数学活动经验，显示了中国数学教育的特色．
正如语文课讲究文章的思想性一样，数学课必然关注数学思想方法的提炼，因为数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现和应用．从数学教学角度讲，一堂课往往新就新在思维过程上、高就高在思想性上，有思想深度的课，给学生留下的是长久的心灵激荡，即使以后具体的知识忘记了，但数学地思考问题的方法则会长存；从学生学习角度而言，如果能够达到把握数学思想方法的层次，那么就达成了学习目标的高水平[3]．
数学思想方法是一个元概念，在中学数学教学中一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法．思想是其相应内容方法的精神实质，方法则是实现有关思想的策略方式（有数学方法是数学思想的程序化之说）[4]．“思想”重在“指导”，而“方法”指向“实践”，可以这样理解，数学思想相当于建筑的一张图纸，而数学方法则相当于建筑施工的手段，数学思想比数学方法在抽象程度上处于更高的层次[5]．同一个数学成就，当用于解决问题时可称之为方法，当评价其在数学体系中的价值和意义时又称之为思想．例如“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，可以称之为极限方法；当讨论其自身价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，则称之为极限思想[6]．
2 数学方法的四个层次[7]
张奠宙先生认为，应当将所有的数学方法做一个总体的分析，将它们分成各种不同层次，判定不同类别，以便有一个系统的认识.他将数学方法概括为四个层次，即：基本的和重大的数学思想方法，各门学科共同使用的思想方法，数学特有的思想方法，中学数学解题方法．这是关于数学思想方法有创见的分类方法与框架体系.
一般地说，重大的数学思想方法，都会反映某个哲学范畴或基本矛盾的数量方面．如，微积分方法处理运动与静止，概率方法研究偶然与必然，拓扑学描绘局部与整体，计算方法讨论近似与精确，建模方法思考现象与本质，几何方法刻画时间与空间，等等．
如时间和空间是运动着的物质的基本属性和存在形式，从数学上研究时间范畴和空间范畴，便构成了各种几何学．初唐诗人陈子昂的诗句《登幽州台歌》中的“前不见古人，后不见来者”指一维的时间，两端都是无限的；“天地悠悠”构成三维空间，令人震撼、敬畏，思绪茫茫而“独怆然而涕下”．时间的特点是一维性，它只有过去、现在和未来，其流逝总是沿着单向前进，一去不复返，用两端可无限延长的直线作为几何形式．空间范畴反映运动物质的伸张性、广延性，任何物体都有长、宽、高三个方向，现实空间的几何形式是三维空间，欧几里得几何反映了绝对空间观念，它所处理的是空间中点、线、面之间的相对位置以及机械运动下的几何不变性．几何方法，说到底，是为了描写、表示、反映现实空间，为各种时空观提供数学模型．
数学方法是一般科学方法的特例，因此观察实验、分析综合、归纳演绎、类比联想等一般科学方法在数学中也有着广泛的应用．以化归方法为例，不仅在数学中使用，其他学科也都有应用．如我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计显然不行，于是可将测温问题化归为测电问题，通过热电阻材料将温度转变为电流，电流是可以测量的，这样利用热电转换公式也就可以测量高温了．但是，数学家手中的化归方法更有逻辑特色，如乘法与除法的互化、高次化归为低次、分式转化为整式等，这些化归过程，由于数学上保持了某种等价性，在逻辑上可以倒退回去，即原来的问题结果不会因为变形而损失．
当然数学的研究对象是形式化的思想材料，虽源于经验却舍弃了事物的具体内容，因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点．如数学中也有归纳，我们往往从提出猜想开始，选择最有希望的证题路径作“合情推理”，以便求得问题的最后解决．以“在周长一定的长方形中，试问哪一个面积最大？”为例，可以先作猜想“也许是正方形最大”再举例证，不妨设正方形的边长为1，则周长为4，面积为1；又设长方形长边为1.5，短边为0.5，周长仍为4，但面积为0.75；再设短边为0.25，长边为1.75，则周长不变，但面积又降为0.4375；因此，猜想正方形最大是有根据的(归纳的依据)．最后设法求证，构造此几何问题的代数模型：x与y为长方形的两边之长，周长为定值2a，求当x+y=a时xy=x(a-x)=-x＾2+ax的最大值，容易得到：当x=y=a/2时，即当长方形为正方形时所围面积最大．
哲学范畴与一般科学方法论之下的数学方法，尽管有数学特点，但往往并非数学所专有．有些方法主要在数学中产生和适用，为数学所独有，如数学表示方法，等价变换方法，公理化方法，同构方法，RMI方法，随机方法，极限方法，矩阵方法，优化方法和近似方法等，其中前5种常用于构建数学理论、展开数学内容，后5种则适用于运用数学知识解决问题．
例如，数学中经常探讨不变量与不变性质．平方差公式(x＾2-1)=(x+1)(x-1)可将左边二次式变换成右边两个一次式乘积，二次三项式配方前后看上去完全不一致却彼此恒等，正如陆游咏梅诗所云“零落成泥辗作尘，只有香如故”，尽管梅花已经碾作尘，依然保持着固有的香味．代数中有韦达定理，无论方程系数怎样变化，根与系数的内在联系始终不变；两条直线交于一点并不稀奇，但三角形的第三条中线(高、或角平分线)也不偏不倚地与前面两条正好交于同一点，就太奇妙了；……数学，正是在数量变化中寻求其中的不变因素，数学上比较深刻的结果通常称为定理，所有的定理都是在满足条件的无数变化中找到了不变性质，也就是在一定的条件下“万变不离其宗”．
中学数学中的解题方法，因涉及内容为初等数学，规律较为明确又易于深入解剖，所以具有特殊的重要意义．又考虑到各种解题技巧内容丰富、变化无穷，因此可以将中学数学解题中的数学方法与解题过程上升到一般性的高度，用几条原理、原则来加以概括与解释，包括形式化原理、简单化原理、等价变换原则、关系映射反演原则(RMI原理)、逐次逼近原则和系统化原则．
数学解题往往从形式化原则(实际上是“适度的形式化”)开始，因为形式化的数学具有现代意义，学习数学的一个重要目标，就是学习一种有特定含义的语言，以及用形式化语言去表示和解决各种问题.当然中学数学实行的是适度的形式化原则，涉及更多的是不同符号形式系统之间的转换．
然后进行“简单化”“等价变换”的处理，力求达到解决问题的目标．其中简单化原理就是“以简驭繁”，把未知的、复杂的问题归结到熟知的、简单的问题，一般有两个子过程：从原来的问题离析出简单的情境并予以探讨，将探讨的结果与方法运用到原来繁杂的问题情境中去．初等数学解题中最常用的变换是等价变换，如代数中的算式化简、恒等变换，几何中的合同变换、等积变换等；等价变换原则，就是借助于等价变换，将原问题改述成不同形式的等价问题来进行处理．
在无法直接达成目标的时候，则可以采取逐次逼近的方法，或者转移到另一个论域里进行处理．当一个问题的解答不能满足问题的所有要求的时候，可以先满足第一个要求，再满足第二个要求……逐步接近最后的解答，这就是逐次逼近原则的基本思路，而“讨论排除→类比猜测→试验归纳→压缩‘解域’→逐步逼近”当是逐次逼近的一般步骤．徐利治先生提出的关系映射反演原则(RMI原理)，就是把在一个领域内难以处理的问题映射转移到另一个领域中去，变换成另一形式的问题来思考，解决问题后再把它反演回原系统中来．如，数形结合，就是借助坐标系为平台，将“数”的系统（代数、复数等）和“形”的系统（解析几何、向量等）沟通起来，互相变换，求得问题的最终解决．
最后，将问题系统化．所谓系统化，其实就是具体问题解决后的跟进引申、拓广完善．正如波利亚所言，“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的．”当我们几经周折、豁然开朗解决问题后，需要重新审视解题过程、领悟方法精妙所在，将分散的、孤立的、零星的数学方法一般化，整合构建起一个一般化的方法系统（层次分明、相互关联、整体和谐）．3 数学思想方法的教学
各个学科都有自己的方法论问题，如语文课的核心价值在于思想情感的表达，必须着重透过文字揭示、欣赏背后真实的思想情感；而数学，则由问题驱动，最后形成“形式化”的表述，在此过程中，居于主导地位的数学思想方法的重要性就显得十分突出．因此，掌握数学思想方法是数学教学的高端目标，如何进行数学思想方法的教学？如何改变“形式化的数学往往被淹没在逻辑演绎的海洋里”的现状、解决思想方法“教材里不写，课堂上少讲，考试里无题”的问题？张奠宙先生也为我们做了指导.
首先，数学思想方法教学，要超越冰冷的形式演绎体系．数学的学术形态，是形式化的演绎体系．这种叙述方式，好处是严谨、准确、简洁，体现出冰冷的美丽；缺点是枯燥、抽象，缺乏火热的思考．数学教学的任务是将这种学术形态转换为学生易于接受的教育形态．
其次，数学思想方法的教学，要密切联系数学文化背景．重要的数学思想方法大多以数学文化作为载体，数学是人做出来的，数学家的思想必然会打上他所生存时代的烙印．数学文化又是整个时代文化的组成部分．因此，在进行数学思想方法教学时，必须揭示其产生的数学文化背景，才能进一步体现数学思想方法的价值．
最后，数学思想方法教学的最高境界是让学生感到思想震撼．数学思想方法的教学，伴随着人们对数学的欣赏，能够触及学习者的灵魂．学习者在体验数学之美妙的同时，能产生心灵的震撼．
比如在分解因式x＾4+4时，教师只需给出简单的提示x＾4+4=(x＾4+4+4x＾2)-4x＾2，无须过多解释，学生便已豁然开朗，一个看起来似乎不能分解的整式居然可以分解，正是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”．
按照是否在课堂上直接指明数学思想方法的次序，可以包括以下一些类型：
正面论述式．数学本身是一种方法，在数学课程中，有一些数学思想方法是直接作为标题出现的，如初中课程因式分解中的十字相乘法、配方法，高中课程中的数学归纳法等．正面叙述数学方法的教学，可以帮助学生理解方法的意义，掌握其本质，便于实际问题的解决．
过程展现式．一些重大的数学概念，并没有冠以某某数学方法的名称，如方程、函数、坐标等，此类思想方法可以植根于日常生活中的人文意境，通过多侧面、多视角、多层次的展开，能够帮助学生体会概念的本质和真谛，形成一种心理学上的概型．
回顾梳理式．数学思想方法需要提炼，一般地说，数学内容阐述在前，数学方法提炼在后．因此，复习课是提炼数学思想方法的主要时段，在回顾梳理一个单元的知识内容的时候，将数学知识提升为一种数学思想方法，需要从数学的本质着眼，以更高的观点加以审视，进行剖析、概括、深思和欣赏．
蕴涵积累式．数学思想方法可以分为许多层次，有些比较具体，可以正面阐述，或者加以充分展现，通过练习使之升华．但是有些比较抽象，涵盖范围比较宽泛的数学思想方法，就必须长期领会，点点滴滴地积累，方能体会其中的奥妙．
总之，张奠宙先生既为我们厘清了数学思想方法的含义与层次(分类)，又为我们开展数学思想方法教学指明了方向.[1] 张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013：213.[2] 张奠宙，郑振初.“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011，20(5)：16-19.[3] 张奠宙，方均斌.关于数学思想方法的教学[J].中学数学月刊，2012(6)：1-3.[4] 罗增儒.数学思想方法的教学[J].中学教研，2004(7)：28-33.[5] 孙朝仁，臧雷.“数学思想方法研究”综述[J].中学数学教学参考，2002(10)：28-30.[6] 张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996：3.[7] 张奠宙，过伯祥，方均斌，龙开奋.数学方法论稿(修订版)[M].上海：上海教育出版社，2013.(张奠宙先生著作，左为2013版，右为1996版)
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