浅谈圆锥曲线离心率范围问题常见的几种求解策略

河北省秦皇岛开发区燕山大学附属中学杨茉

求圆锥曲线中的离心率范围是同学们在圆锥曲线学习中经常遇到的一类问题。面对此类问题，同学们往往束手无策，难以顺利解决。下面结合几个实例谈谈这类问题的求解策略，以供参考。

一、建立函数关系式求解

根据题设条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，然后利用求函数值域的方法求解离心率的范围。

例1 已知椭圆

=1(a＞b＞0)上一点A 关于原点O 的对称点为B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈

，则椭圆离心率的取值范围是____。

图1

解：如图1，左焦点为F1，连接AF1、BF1，AF ⊥BF，可得四边形 AF1BF是矩形，所以AO=OF=OB=c，AB=2c。因此，AF=2csinα，BF=2ccosα。又因为AF1=BF，AF1+AF=2a，所以2csinα+2ccosα=2a。也即

。

因

故填

。

点评：由已知条件建立关于a，c 的一个方程，用参数α 表示离心率e，从而建立以α为变量的三角函数，然后求三角函数的值域，从而求出椭圆离心率的取值范围。

根据题中条件隐含的一元二次方程的存在性，利用判别式建立不等式关系，来求离心率的取值范围。

例2 设双曲线C：

-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C 的离心率e 的取值范围。

点评：将圆锥曲线方程和直线方程联立，消去一个变量后得到一个关于另一个变量的方程，由已知可得此方程有两个不相等的实数根，利用二次方程的判别式可得到参数的取值范围，再找出e 与这个参数之间的关系即可。

根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，利用已知的不等关系，将问题转化为求解不等式。

点评：解决本题的关键是如何建立k 与e之间的关系，然后再利用k 的取值范围来解e的取值范围，同时还要注意椭圆离心率e 小于1。

故所求离心率e的取值范围是

。

例4 设椭圆

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求离心率e 的取值范围。

点评：确定椭圆上点P(x，y)与a，b，c的等量关系，由椭圆的范围知|x|≤a，|y|≤b，建立不等关系。如果涉及曲线上的点到焦点的距离的有关问题，可用曲线的焦半径公式求解。

例5 已知双曲线

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，左准线为l，P是双曲线左支上一点，并且|PF1|是点P 到准线l的距离d 与|PF2|的等比中项，求离心率e 的取值范围。

分析：解此题需要用到题中的隐含条件，即根据已知P 是双曲线左支上的一点，点P到左、右焦点的距离之和大于或等于焦距，从而找到关于e 的不等关系即可求解。

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