来源：星教师
课上，老师发给学生每人一张A4纸，要他们在纸上剪出大洞，容一人钻过。学生最初的想法是，剪成一小条一小条，接起来，洞就大了。
但老师强调纸不能剪断。
学生试来试去，有剪成“回字形”的，有展开来像“排骨”的……一而再，再而三，尝试、失败、再尝试，终于有学生探究成功了（如图，沿线剪开，包括红线处，然后展开）。
最后，老师用更大的纸按正确方法剪，拉成“大洞”，全班师生都钻了过去。下课铃响了，学生不想走，听课的老师也意犹未尽。
小学数学课，实在罕见这样的情形：不单单让学生经受挫折，还集思广益、不断修正，最后突围。
如此可贵的数学活动经验，也触发我思考、探寻该“游戏”的数学背景，初想应该属于拓扑学问题，后来发现，竟然与皮亚诺曲线及其性质有关。
你看，一个课本上的游戏，居然可以让孩子们接近数学研究的前沿。
虽说数学学科一个得天独厚的优势在于它的内容相对稳定，不像语文，换个版本，课文变了一大半。但是，数学教师花再大的力气研究教材也不为过，因为这是一个逐步积累、升华的过程，永无止境。
可，面对教材时，常有这3种偏颇
一种是视教材为经典。
例如，教材中关于三角形的描述：“三角形是三条线段围成的图形，每相邻两条线段的端点相连”。这后半句话不仅多余，还值得商榷：一条线段有两个端点，“端点相连”并不能说明“首尾相连”。有教师上课时不作解释，直接照教材板书。老师都读不通，抄出来又有何用。
第二种是颠覆教材。
在一次教学展示活动中，有位老师这样开始四年级“平行四边形的认识”教学：“请判断下面哪些图形是平行四边形？”
这个练习，图形选择精当，遗憾的是一开始就让学生根据一年级就有的直观认识“像不像”来判断，后面却不再让学生根据总结的定义说明为什么是或不是平行四边形。
看来，问题在于没有理解教材的整体编排：一年级，依据表象识别；四年级，依据概念判断。
人教版教材这一课的设计是：寻找生活中的实例→抽象出图形→探究（用两把三角尺研究平行四边形的特点）→归纳定义。
为什么抛开教材不用呢？
原来授课老师顾虑：按教材探究，学生除了发现对边互相平行，还能发现对边相等、对角相等。可定义只要求对边平行，这不是添乱吗？
本来，学生的发现越多越好！虽然在小学，还不宜让学生理解四边形对边相等或对角相等都能作为平行四边形的定义，但可以引导：
既然这些都是平行四边形的特征，你们觉得用哪一个说明平行四边形比较符合它的名称呢？难得有一个让学生发现多种特征、做出选择、加以定义的机会。
我们本可以把选择定义权还给孩子，却因没想好怎样启发，害怕失控，以致离开教材另起炉灶。
第三种倾向是理念至上。
例如，教学“三角形三边关系”一课，各种版本的教材共有两种处理方式：一种从实验入手选择三边长度，围成三角形；另一种创设情境，先发现三边关系，再探索怎样选择三边长度，围成三角形。
老师们都知道两种方式的表面差异：从实验、从情境引入。却都没有在意实质性的区别：前者中的三角形是未知的，是逆向思维，解决三角形的判定问题；后者中的三角形是已知的，是顺向思维，先解决三角形的性质问题，再反过来探究。
为促进学生理解三边关系，人教版教材还专门设计了提示：“这是什么原因呢？”意在让学生调动已有的知识储备：两点间可以有无数条连线，其中线段最短。
如此设计是因为三角形的三边关系就是线段公理的直接推论，只不过换了个情境来说。但前十年多数版本都没强调这两个知识点间的联系。以致使用人教版教材的老师，也都把这个点扔掉。
为什么我们会漠视数学知识之间的内在联系？
是我们的主观愿望，试图体现课改理念，放大探索空间，让学生接受更大的挑战。
于是，我们不得不面对这样的难点：
当学生选择的小棒出现“两边之和等于第三边”时，很多学生误以为，不也可以摆一个扁扁的三角形吗？为了消弭实验操作误差，有老师精心设计学具与课件：
给每个学生一条画有16厘米长的线段的透明塑料片，一块铁板，三块磁铁（便于学生端着铁板放在投影仪上展示交流），让学生剪成整厘米的三条线段围成三角形。当学生剪成5 厘米、3厘米、8 厘米围成三角形时，老师说，你用放大镜一看就发现了，没围起来！
这位老师确实煞费苦心了。
其实，这个难点很大程度上是“反弹琵琶”造成的。当然，你嫌山前大道上山太省力，不走，带孩子往没路的地方爬山去，挑战自我也是可以的。问题是大江南北的老师清一色地反弹琵琶，这就值得我们反思了。
只能承认，我们头脑里的评判标准是理念，不是实践，所以不管本班学生是否适合登山运动，一概放大探索空间，不行也要行。这是调侃之言，冷静下来：面对探究能力不那么理想的孩子，是否可以选择正面突破呢？
如图，假设有一个三角形池塘，一只小狗在一个顶点处，发现另一个顶点处有一块骨头，问小狗会走哪条边去吃？如果小狗与骨头在其他顶点处呢？
面对这样生动、有趣的情境，结论再自然不过了：三角形任意两边之和大于第三边。
道理何在？顺理成章用已有知识说明：“因为……所以……”典型的演绎推理。然后加以应用，选择不同长度小棒围成三角形。
知道了结论，围不成的情况就可以再次通过推理解释：两边之和等于第三边就并成一条线段了，两边之和小于第三边更不用说，肯定拼不起来。同课异构表明，教学效果明显优于完全依靠实验的教法。
这才是真正的儿童数学，既顺应儿童，又彰显数学。
新学期，不妨先想想教材如何用？
1.前提是用
我曾就上海版教材中测定体积的实验“苹果沉入烧杯后，求苹果体积”做现场调查：请问，在做实验的过程中你发现了什么？
只有一个老师说，苹果不会沉。
这是数学教材要“打假”的一个典型案例（现在教材将苹果改成了土豆）。这提醒我们，讨论如何用教材，基础和前提是先用起来。
还有些老师虽然在用教材，但表现出一种“公开课综合征”，课堂上只吸收配合他教学的信息，不能配合的就过滤掉。
例如，各套教材推导三角形面积公式，都是让学生拼接两张相同三角形纸片。观察表明，多数课堂学生出现了六种不同拼接方法，但调查显示93%的老师只会让孩子在课上交流三种拼成平行四边形的拼法。
一些老师认为，干吗要交流另外三种拼法呢？这不是浪费时间吗？
这是浪费时间吗？教师的板书“转化”其实非常笼统，有待具体说明。学生将两个三角形拼成筝形、燕尾形，也是转化。这些另类拼法，构成了反例，展示出来一对比，转化思路就清晰了：将面积公式未知的图形转化为面积公式已知的图形。
所以，当我们讨论用教材时，前提一定是“用”，实实在在地用。
2.用出经验，用出改进
在“用”的前提下，可以用出经验，甚至还能通过实践、反思，弥补教材的不足。
比如20以内退位减法有三种算法：破十法、连减法、想加算减法。
首先，认真钻研教材的老师发现，没有一套教材针对三种算法一一给出配套练习，最多地给出了两种，这就需要老师针对性地补充辅助练习。否则，“你喜欢哪种算法就用哪种算法”，只是“忽悠”学生的空头支票，不能落实。
其次，有经验的老师还能把握每一种算法的思维难度极其适合对象。前几年，面对大量外来务工者的子女，我们一直在研究，哪种算法更适合没有经过学前教育、思维能力较弱的孩子？
三轮实践比对，答案是“想加算减”。
因为在思维步骤上，想加算减只要一步，其他两种都要三步（先分拆，再加减或连减）。一些学生能够通过摆小棒完成破十或连减，但离开小棒就束手无策，要让他们将一连串动作内化入脑，实在不易。
当然，想加算减的基础是熟练掌握20以内的进位加法。为此，我们针对上海教材的特点，建议有关教师将20以内退位减法，从一年级上学期移至下学期，适当延长进位加法的巩固时间，等到学生看到7＋（ ）＝12 能有正确反应，再来教学退位减法就水到渠成了。
3.用出创意，用出特色
在理解教材意图的基础上，教师还可以发挥自己的主观能动性，用出个性化的创意，用出因地制宜的特色。
如下图，人教版六年级教材新增的“数与形”中，有这么一道题。
有教师读懂了教材，认识到六年级的数形结合，不能让学生停留在二年级找规律的思维水平上。而且，找规律直接看数字岂不更清楚，红色小正方形依次多1，蓝色小正方形依次多2，要图干什么呢？
题目中的指导语点出了要害“你能解释其中的道理吗？”这才是数形结合的用武之地。
于是生成了课堂上的精彩：
师：多加一个红色方块可以怎么做？
生：把右边蓝色的方块拉开来，加进一块红色的，然后上下各补一块蓝色方块。
教师根据学生的回答加以演示，全班学生都看明白了，为什么红的依次多1，蓝的依次多2，原来如此！
数形结合这才显现优势，即在原来找规律的基础上，借助几何直观解释规律。换句话说，让小学生知其所以然。
有一次，我应邀到广西参加一次教研活动，有位老师教学“数与形”补充的练习题让我眼前一亮：“长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有千年历史。用每边坐2人的方桌拼成长桌，要坐下100人，需要多少张方桌拼成一张长桌。”
多么富有广西地方特色的实际问题！采用列表法，学生容易发现规律，但难以根据规律推想算法。
拼桌子的现实情境，激活了当地学生的生活经验，他们一旦动手画图表征自己的理解，马上就想到了算法（100-4）÷4。
可见，吃透教材的另一面是吃透学生，两个“吃透”，必须有机结合，而研读教材、用活教学，是提升教学有效性的根本秘诀。
本文原刊发于《教育家》，已获作者授权 ·
作者：曹培英（著名的小数专家，正高级教师。），追寻数学本质转自公众号：星教师。
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