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怎样培养小学生的推理能力
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动静结合，“舞动”数学思考
——一道教材“*”号题的教学心得
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怎样培养小学生的推理能力
节选自曹培英老师《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
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动静结合，“舞动”数学思考
——一道教材“*”号题的教学心得
（此文已发表于《中小学数学（小学版）》2020.1-2）
原题呈现
人教版小学数学教材五年级（下）《分数的意义和性质》单元“最小公倍数”知识点后练习十七中有如下一道带“*”题。
教材配套的《教学用书》对此题的教学建议描述为“可让选做的学生交流自己找到的答案，从中可以发现答案有两类。一类是两数成倍数关系的，即36和它的约数，如1和36，2和36，3和36，4和36等；另一类是两数不成倍数关系的，有4和9，4和18，9和12，12和18四组。”毋庸置疑，当学生得出所有组别后，通过观察比较，不难发现以上规律。笔者以为，此题的难点在于：找出满足题目条件的所有组别。为此，备课时我将此题的教学目标定位为：学生通过探索“两个数的最小公倍数是36”的所有组别，感悟其中规律的同时，体会有序思考的重要性。
教学实践
环节一：交流互动，探究规律
出示习题后，教师让学生根据题意，独立解答。不一会儿，同学们陆续举起了手。
生1（如下图）：我找到了36和2，36和4， 36和6，还有36和9。
生2（如下图）：我找到的是36和12，36和18。
生3：老师，我发现36和36的因数的最小公倍数都是36。
师：同意吗？（同意）为什么呢？
生：因为我们发现过规律：如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数是较大数。
师：有道理！那么在这里36可以和不是它的因数组吗？（不可以）为什么？
生：如果36和5，36和7组，它们的最小公倍数都不是36，而是180、252。
师：哦，看来36只能和它的（因数）组，它们的最小公倍数才是36。除了36和它的因数可以组，还有吗？
生4：老师，我有4和9。
生5：我也有，12和18。
师：算一算。它们的最小公倍数是36吗？（是的）你有什么发现？
生6：36的两个因数，它们的最小公倍数也是36。
生7：不对！2和3，4和12，都是36 的因数。但它们的最小公倍数都不是36。
师：是呀！
生7：应该这么说：36的因数中选两个，它们的最小公倍数有可能是36。
师：你真会说话！（同学们大笑）有道理吗？（有）那么，这样的“可能”有几组呢？
环节二：静心梳理，有序思考
学生进入沉思，眼看时机成熟，教师顺势提出了新要求：这样，不急着回答，请大家根据刚才同学们的发现，想办法找出两个数的最小公倍数是36的所有情况。
有了前面的发现，同学们信心满满地投入到寻找这样的组合的活动中去了。不一会儿，小手又都举了起来。
生1：我找到了，有36和1，36和2，36和18，36和3，36和12，36和4，36和9，36和6，36和36，18和12，12和9，4和9。
师：跟你们的答案一样吗？
生2：答案是一样的。不过我是有顺序地写的：有36和1，36和2，36和3，36和4，36和6，36和9，36和12，36和18，36和36，18和12，18和14，12和9，9和4。
师（投影展示该生作品，如图）：发现了吗？
生3：他是先想36可以和它的所有因数组合，然后再想4可以和后面的9、18组合，再想9和12组，12和18组。
师（问生2）是吗？（是的）为什么这样做？
生2：这样不会漏掉。
师：是的。有序思考能让我们不重复、不遗漏。
正欲进入下一个环节，生1反驳道“老师，其实我也是有序思考的”。并走到讲台旁，将自己的作品放到实物投影上（如下图）。经过分析，同学们纷纷表示同意。于是教师小结道：同学们非常棒！都有序地找出了满足条件的组合，仔细观察这些组合，你有什么发现？
生4：我发现，除了36和它的因数组，最小公倍数是36，还可以像18和12、4和9，它们的最小公倍数也是36。
生5：我发现能组成的数都是36的因数。
师：嗯，好像是的。那是为什么呢？
生6：因为如果两个数的最小公倍数是36，说明36一定是它们的倍数，反过来这两个数一定是36的因数。
师：所以，在这里我们还需要考虑36的因数以外的数吗？
生：不用了！
教学反思
一、 动，为数学思考“铺桥架路”
随着新课改的不断深入，数学思考越来越得到专家与老师们的重视。然而作为核心素养的数学思考，学生并非一蹴而就便能形成的。处于思想意识层面的数学思考，必定是在学生充分经历相关知识的思维过程，获得相应数学活动体验之后逐渐形成的。因此，在课堂教学过程中教师尤应给学生提供思维碰撞的时空，为学生数学思考的形成“铺桥架路”。特别是在教学教材中作为拓展学生数学思考力的带“*”题时更应如此。以本个案为例，正如前文所述，该题的教学重点应落在“有序思考”这一数学思想的渗透上。显然，简单的说教只能是“走过场”，于学生数学思考力的提升毫无帮助。唯有学生经历过“轰轰烈烈”的思辨，方能自觉形成“有序思考”的数学思想。教学过程中，当学生得到零散的几组数据后，教师并未草率收场，而是下意识地引发学生间的互动交流，也正是这样的互动交流，才有了“36和它的因数组，它们的最小公倍数是36”以及“36的因数中选两个，它们的最小公倍数有可能是36”的发现。对于有过“取数字卡片组数”、“同学握手次数”等数学问题研究经历的五年级学生来说，基于上述发现，有序探寻“最小公倍数是36的数组”已然水到渠成！
二、静，让数学思考“生根发芽”
爱因斯坦曾说过“教育，就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西。”学生数学思维、数学思考意识也是如此。众所周知，方法尚可教，但意识只能是学生亲历数学学习活动中逐渐领悟、形成的。为此，教师要舍得花时间让学生静下心来慢慢悟！哪怕学生在悟的过程中“跌跌撞撞”，甚至“头破血流”。其实，这都是学生数学思考力“拔节生长”的声音。本案例中，在学生发现了寻找满足条件的数组的方法后，教师没有急着让学生说出所有的数组，而是安排了“让学生动笔写出所有组合”的静活动。可以想见，看似静悄悄的场面之下，学生心中定是“暗流涌动”、“心潮澎湃”！他们在思考“怎样才能把数组找全”、“如何才能做到不遗漏、不重复”。同时，在脑海中唤醒达成以上目的的数学思考方法——有序思考。案例中，学生的作品便是最好的证明。正是这样的静思、静答，唤醒了学生的记忆，强化了数学思考方法，让“有序思考”这一数学思考意识“生根发芽”！
本期审核：许兆婕 任超琼
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