构造平行四边形转化线段处理问题

最近在平行四边形的学习过程中，我们发现有很多题目需要巧妙地构造平行四边形进行线段地转化，从而达到将分散条件集中在一起的目的。这类题相对来讲难度很大，我们今天就来探讨一些利用构造平行四边形来解决问题的题目。

PART.01  

回顾

在讲述将军饮马的变式的时候，我们其实就有两种情况是通过构造平行四边形来进行线段的转化的。比如“线上定线段”和“两点夹平行”两种情况。

（1）如图所示，矩形ABCD中，AD=6，AB=4，E为CD中点，点F、G在线段BC上，FG=2。试找出一点F，使得四边形AFGE的周长最小，并求出这个最小值。

（2）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B 之间的距离最短？

当初在解决这两种类型的题目的时候其实都运用了利用平行四边形将线段进行转化的方法，大家可以参考《将军饮马及其推广》，我们今天来看另外的几种情况。

PART.02 

利用平行四边形转化线段构造将军饮马

例题一：如图,正方形ABCD的边长为6,E,F是对角线BD上的两个动点,且EF=

,连接CE,CF,则△CEF周长的最小值是______．

分析：此题从形式上和将军饮马模型类似，我们考虑将军饮马模型是两定一动，动点在对称轴上，所以我们考虑可以将CE平移使得点E和F重合，考虑到CG的方向和大小都不变，此时就和将军饮马一样（如下图所示）。

反思：此题中的△CEF周长最小就是CE+CG最小，我们就可以通过转化就可以将这个问题变成简单的两定一动将军饮马问题。

PART.03  

利用平行四边形转化线段构造全等三角形

例题二：如图，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.

分析：题目中存在两组线段相等，依据做题的经验应该是构造全等来处理，由于四条线段不在两个三角形中，所以我们可以通过线段的转化来构造三角形的全等。考虑到MC、AC在△AMC中，所以只需要将AN移到BM处或者将BM移到AN处构造一个三角形和△AMC全等就行了。我们以将AN移到BM处为例，可以有以下两种解决方式，解答如下。

反思：学生可能对第二幅图更熟悉，是标准的一线三等角，我们还可以用同样的方式构造平行四边形将线段BM移到AN的位置求解，如下图所示两种方案。

PART.04  

利用平行四边形转化线段构造特殊图形

例题三：如图，在平面直角坐标系XOY中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转

角，得到矩形CDEF．若设A(0,3)，C(0,4)，则

的最小值为 　　　　　　．

分析：这个题目给出了几个平方，就是暗示我们要超勾股定理的角度来思考，问题在于我们如何将变量线段BD、BF的平方进行准确的表述，由此我们考虑过点B作DE的平行线，从而构造▱BDEM和▱BCFM，利用平行四边形将线段BD、BF都放入直角三角形中来求解。

          

反思：此题的解答相对来讲比较复杂，这个平行四边形的出现也难以发现，其实我们也可以充分利用矩形中的直角来解决，如下图所示，大家可以试着做做看。

PART.05  

练习

利用平行四边形来进行线段转化的题目还有很多，下面我们给出几道和例题类似的题目，有兴趣的朋友可以试一试。

1.如图,在菱形ABCD中,BC=5,AC=8,对角线AC、BD交于点O,点P在OB上,点Q在OD上,且BP=OQ,则△APQ的周长的最小值是___________.

2.如图,正方形ABCD中,AB=4,点E是边BC的中点,点G,H分别是边CD,AB上的动点,连接GH交AE于F,且使GH⊥AE,连接AG,EH,则EH+AG的最小值是______.

3．如图，在等腰△ABC中， AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．

4.如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式是_________________.

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