神奇的莫比乌斯带

“垃圾分类，从我做起”这句耳熟能详的标语，是否让你想起了右图这个标识？

可不要小瞧这个普通的“可回收垃圾”标识，它的设计来自一个“正面就是反面，反面就是正面”的神奇图形——莫比乌斯带。

什么是莫比乌斯带

1858年，德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现，将一条长纸带的一端旋转180度，再与另一端相接，纸带的正面和反面就连在了一起。这个曲折曼妙的造型就是大名鼎鼎的莫比乌斯带。

莫比乌斯带看似简单，却蕴含着非常复杂的数学原理。它打破了“任何事物都有两面”的常规，展现出两个特殊的性质。

性质一：只有一个面

如果用红笔在莫比乌斯带的一面沿着它的走向画一条线(不跨跃带的边缘)，当笔尖回到起点的时候，我们会发现红线经过了纸带上所有的面。这说明，莫比乌斯带不存在正反两面，它只有一个面。

性质二：只有一条边

用你的手指贴着莫比乌斯带的一条边向任意方向滑动，你会发现，无论选择哪个方向，你的手指都可以畅通无阻地经过莫比乌斯带的所有边，最后回到起点。这说明，莫比乌斯带只有一条边。

在数学上，像莫比乌斯带这样的图形有一个专属的名称——单侧曲面。数学中有一个重要的分支叫拓扑学，是研究几何图形连续变形时产生的一些新的特征和规律的学说，莫比乌斯带就是拓扑学中最有趣的单侧曲面之一。

什么是单侧曲面，它又有什么性质呢？

简单来说，双侧曲面是可定向曲面，单侧曲面就是不可定向曲面。

什么意思呢？我们想象自己行走在一条巨大的莫比乌斯带上，朝着一个方向，每走一段固定的距离，就在脚下画出指向带的中心的箭头。当我们绕行一圈后，就到达了出发点的另一面，此时两个箭头可以重叠，但是方向完全相反。这个结果就意味着：莫比乌斯带这个特定的曲面不能区分顺时针和逆时针，方向概念是没有意义的。如果你在圆柱体表面上重复这个过程，得到的结果就完全不一样了。当你完成一圈绕行回到出发点时，箭头指向仍然与之前相同。

这个简单的实验告诉我们，莫比乌斯带是单侧曲面（图1），圆柱体的侧表面则是双侧曲面（图2）。

图1

图2

莫比乌斯带奇异的特性，使得一些在平面上无法解决的问题，可以在莫比乌斯带上解决。

莫比乌斯带有什么用

回想一下你坐过或者见过的过山车（图3）: 有疯狂的速度，有高分贝的叫喊和欢呼声，有极度倾斜的轨道，还有会把你脚向上、头向下地颠来倒去的大回环。其实，通常来说，过山车的运动模式是这样的:

出发→缓缓上升到高处→突然开始急速下滑→在大回环上倒转过来→轨道向侧面倾斜→ 回到正常轨道→ 回到出发点

仔细观察，我们不难发现，如果在过山车的轨道之间填满颜色，那么这些颜色并不能形成一个普通的平面，而是会形成不断扭曲的曲面。只有这样，过山车才能一会儿运行在轨道的内侧，一会儿又倾斜向轨道的外侧，带来惊险和刺激。

朋友们是否想过，虽然过山车在运行时又转又翻，但是从不会掉头啊，那它是怎么回到出发点的呢？没错，因为过山车的轨道，也是一条莫比乌斯带。

图3

莫比乌斯带理论虽然诞生于数学领域，但它的应用遍及建筑、艺术和工业生产领域。例如，工厂里的机械传送带如果做成莫比乌斯带，就两面都可以利用，不会只磨损一面，延长了传送带的使用寿命；二十世纪八九十年代流行的盒式磁带，其带基若做成莫比乌斯带，则不用翻面也能循环播放。再如，很多城市的立交桥也是仿造莫比乌斯带设计的，中国科技馆大厅里展出的“三叶扭结模型”(图4)，就是几条莫比乌斯带的组合。

在艺术领域，以绘画中的数学性闻名的荷兰版画家莫里茨·埃舍尔，更是将密铺和莫比乌斯带与版画创作完美结合，他也因此被称为三维空间绘画的鼻祖。图5就是他的作品，飞翔的天鹅组成“8”字形，“8”字中间的连接处，白色天鹅之间的空隙正好构成了三只黑色天鹅，构图中充满数学秩序的美和丰富的哲学内涵。

上：图5

左：图4

怎样剪断一条莫比乌斯带

上文说过，将一条长纸带的一端旋转180度，再与另一端相接，就能形成一条莫比乌斯带。那么，如果从长纸带中线剪开莫比乌斯带，会有怎样的结果呢？

跟大多数人想象的不同，这样剪裁并不会得到两条更窄的莫比乌斯带，而是会形成一个扭转了两次的圆环(如图8)。这是为什么呢？我们可以先尝试这样剪裁一个不扭曲的纸环，会发现得到两个分开的纸环。而莫比乌斯带的一头已经扭转了180度，所以就变成图8中的样子了！

图8

从熟悉的纸带到陌生的圆环，我们体验到了莫比乌斯带的魅力。亲爱的朋友们，快拿起胶水和剪刀，制作一条属于你的莫比乌斯带吧！

文章来源：202104第300期