高数习题51 导函数的介值性

旨在促进求解而引入的元素是多种多样的，除以前涉及到的辅助线、辅助角和辅助函数外，我们所需的辅助函数也可能是一个定理或一个问题。

我们以下面的达布定理的证明为例来谈。

例51   若在上可导，则函数必至少一次取得介于及之间的每一个数值。

解题思路

这一定理好似类同于连续函数的介值定理，那么，它是否可以作为连续函数介值定理的一种推论呢？显然不行！因为连续函数的导数未必连续。

那么达布定理该如何证明呢？当我们一时还找不到一个好方法时，不妨对原命题再添加某种特殊规定，使其得以简化。譬如，令

0,且f'(b)<0, '="" data-formula-type='block-equation'>

于是，根据题中所述，就应该存在点 使

. 这种添加的特殊规定或特殊化，就是从考虑给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小的集合。这是解题中常用的一种方法。

其实上述的证明思路和闭区间上的连续函数的介值定理和零点定理的证明思路并无二致，它们都是我们首先给出一个辅助命题，研究这个命题并非为了它本身，而是我们希望通过它去解决另外一个问题。解答原来的问题是我们的目的，辅助问题是我们为达到目的采用的一种手段。

关于辅助命题的证明，我把它放到如下的解答视频里。

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