拓扑学是研究空间性质和结构的数学分支，在拓扑学中，紧性和紧化是两个至关重要的概念，它们对于理解和处理各种数学问题具有重要意义。紧性描述了一个拓扑空间在局部性质和整体性质之间的关联，而紧化则为我们提供了一种将非紧凑空间扩展为紧凑空间的方法，以便在原空间中利用紧凑空间的性质。
大家都知道在数学中，有限集合和无限集合的
所有函数都是有界的。若f：X→R是X上的实值函数，则f必定是有界的（即存在一个有限数M使得对于所有的x∈X，均有|f(x)|≤M）。
所有的函数都能达到最大值。若f：X→R是X上的实值函数，则必存在至少一个点x_0∈X，使得对于所有的x∈X，均有f（x_0）≥f（x）。
所有序列都有常值子序列。若 x1，x2，x3……是X中的一个点序列，则必存在它的一个子序列：
取常值。换言之，必有某个c∈X使得
这个事实有时称为无限抽屉原则（鸽笼原理）。
第一个命题——有限集合上的所有函数都有界——可以看成是局部到整体原理的一个非常简单的例子。它的假设是一个"局部"的有界性的论断，由此假设可得|f(x)|对于每一个点x∈X分别都有界，但是这个界一般地是依赖于x的。现在结论是"整体"的有界性：|f(x)|对于所有的x∈X，界于单独一个M。
迄今，我们仅限于对象X是一个集合的情况。但是在许多数学领域里，我们愿意对于对象集合再赋以附加的结构，例如赋以一个拓扑、一个度量或者一个群结构。当这样做了以后，我们的对象会展现出某些类似于有限集合的性质（特别是，也会有局部到整体原理），虽然这些集合现在是无限集合。在拓扑空间和度量空间的范畴中，这种“几乎有限”对象就是紧空间（在其他范畴里，也有“几乎有限”的对象，例如在群的范畴里就有投射有限群（profinite groups）拿的概念，对于赋范空间之间的线性算子，则有紧算子的概念，就是"几乎有限秩”的算子，等等）。
闭单位区间X=[0，1]是紧集合的一个好例子。它是一个无限集合，所以前面的三个命题对于这个 X都不真。但是如果引入一些拓扑概念，如连续性和收敛性，就可以把这些命题恢复成以下的形式：
所有的连续函数都是有界的。如果f：X→R是X上的实值连续函数，则f 必定是有界的（这又是一种类型的局部到整体原理：如果一个函数局部地变化不太大，则它在整体上变化也不太大）。
所有的连续函数必达到最大值。如果f：X→R是X上的实值连续函数，则必定存在至少一点x_0∈X，使得对于所有的x∈X，均有f（x_0）≥f（x）。
所有的点序列都有收敛的子序列。若x1，x2，x3，…是X中的一个点序列，则必存在它的一个子序列收敛于某点c∈X（这个命题称为波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理）。
对于这些命题，我们还可以加上第四个（但是和前三个不同，第四个在有限集合情况下的类比是颇为平凡不足道的）。
所有开覆盖都有有限子覆盖。
开覆盖的概念描述了在拓扑空间中如何用一组开集来覆盖一个子集。为了更好地理解这个概念，让我们先了解拓扑空间和开集的基本概念。
1.拓扑空间：拓扑空间是一种数学结构，它描述了一个集合内元素之间的“邻近”关系。拓扑空间包含一个基本集合X（称为底集）和一组满足特定条件的子集（称为开集），这组子集构成了一个拓扑。度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，其中包含了一个距离度量来衡量元素之间的距离。
2.开集：在拓扑空间中，开集是满足特定邻近关系的子集。开集的概念可以通过度量空间中的开球来直观地理解。在度量空间中，给定一个点x和一个正数r，以x为中心、r为半径的开球表示距离x小于r的所有点的集合。在度量空间中，这样的开球构成了开集的一种形式。
现在我们来解释开覆盖的概念。给定一个拓扑空间（或度量空间）X和一个子集A，如果存在一个开集的集合，这个集合的并集包含了A，那么我们称这个开集的集合是A的一个开覆盖。换句话说，开覆盖就是一组开集，这些开集的并集可以涵盖子集A中的所有元素。
简单来说，开覆盖描述了如何用拓扑空间中的开集来完全涵盖一个子集。这个概念在拓扑学中非常重要，与紧凑性、连通性等性质密切相关。
这四个拓扑命题对于如像开的单位区间（0，1）和实轴R这样的集合都不真，这一点可以用简单的反例来证明。海涅-波莱尔定理指出，当X是欧几里得空间R^n的子集合时，上面这四个命题，当X在拓扑上是闭的有界集合时，都是真的，否则都不真。
这四个命题互相有密切的关系。例如，如果知道了X的所有序列都包含有收敛的子序列，就可以很快导出其上所有连续函数都有最大值。这一点可以这样来证明：先作一个最大化序列——就是X中的点x_n的序列，使得f（x_n）趋向于其最大值（准确一点应该说是趋向于其上确界），然后再去研究其收敛的子序列，就可以完成证明。事实上，对X给以比较温和的假设（例如设它是一个度量空间），就可以从这四个命题的任意一个导出其余三个。
度量空间（metric space）是数学中一个描述距离概念的基本结构，属于拓扑学的研究范畴。度量空间包括一个非空集合X和一个定义在X中元素对上的距离函数（度量），用来衡量集合中任意两个元素之间的距离。这个距离函数需要满足一些性质，以保证度量空间中距离的合理性。
简单说，我们说如果对于拓扑空间X，只要以上四个命题有一个成立（从而所有的都成立），就说X是一个紧空间。因为这四个命题一般地并不完全等价，所以紧性的形式定义只采用第四个命题：若每一个开覆盖都有有限的子覆盖，就说X为紧空间（compact space）。
紧性是空间的一个强有力的性质，它以多种方式用于数学的许多不同领域。其中它有一个用处就是用它来建立局部到整体原理：先对一个函数或其他的什么量建立起局部的控制，再用紧性把它推向整体的控制。
另一个用处是用它来找出一个函数的最大值和最小值。这在变分法中特别有用。
变分法（Calculus of Variations）是一种数学方法，主要用于求解在某些约束条件下使得给定泛函（functional）取得极值（极大值或极小值）的函数。泛函是一个将函数映射到实数的映射，即它接受一个函数作为输入，并输出一个实数。
变分法的核心思想是研究函数的微小变化如何影响泛函的值。在经典的变分问题中，通常涉及到一个泛函J，其定义域为一组允许的函数。目标是在给定的约束条件下找到一个函数y(x)，使得泛函J在y(x)处取得极值。
第三个用法是在处理发散序列时用它来部分地恢复极限的概念，这时需要接受过渡到子序列的必要性（然而、不同的子序列可能收敛到不同的极限；紧性只能保证极限点的存在，而不能保证其唯一性）。一个对象的紧性常会带来其他对象的紧性，例如紧集合在连续映射下的像仍然是紧的；有限多个甚至无限多个紧集合的乘积仍然是紧的。最后这个结果称为吉洪诺夫（前苏联数学家）定理。
当然，许多有趣的空间并不是紧的。一个明显的例子就是实数轴R。因为其中有一个序列1，2、3、…、它"总想跑出直线"，而一个收敛子序列也没有留下来。然而我们可以多加几个点到这个空间上去，由此来恢复紧性，这个过程称为紧化（compactification）。例如我们可以在实数轴的每一端各加上一个点使它紧化，这两个点叫做
这样得到的对象称为扩张的实数直线
可以很自然地给以一种拓扑，它基本上定义了什么叫收敛于正无穷或负无穷。扩张的实数直线是紧的。每一个扩张的实数的序列x_n都有一个收敛的子序列，或者收敛于正无穷，或者收敛于负无穷，或者收敛于某一个有限的数。这样，应用扩张的实数把实数直线紧化，就可以把极限推广，使得不是实数的东西也可以作为极限。这样来处理扩张的实数，比较通常的实数当然有小缺点（例如两个 扩张后的实数不一定可以相加，正无穷和负无穷的和就无定义）。能够对原来是发散的序列取极限可能是很有用的，特别是在无穷级数理论和反常积分理论中有用。
结果是同一个非紧的空间可以有不同的紧化。例如，应用球极射影可以把实数直线和除去了一个点的圆周在拓扑上等同起来（例如，利用下面的映射把实数x映为一点
则R被映为以（0，1/2）为圆心、1/2为半径的圆周，但是除去了北极（0,1）。如果再把这个缺的点补上，就得到实数直线的一点紧化
更一般地说，任何一个合理的拓扑空间，例如一个局部紧的豪斯多夫空间（Hausdorff space）都有好几个紧化，从“最小的”紧化，即只补一点的紧化；到"最大的"紧化：Stone-Cech紧化，要添加大量的点。自然数集合N 的 Stone-Cech 紧化 βN 就是超滤子（ultrafilters）空间，在数学的更依赖于无穷的部分里很有用。
同伦豪斯多夫空间，豪斯道夫空间就是不同点必有不相交的邻域的拓扑空间。
可以利用紧化来区别一个空间里不同类型的发散性。例如，扩张的实数直线里发散于＋无穷和发散于-无穷是不一样的。按照同样的逻辑，把R^2紧化为射影平面以后，就可以区别一个序列沿着（或近于）x轴的发散与沿着（或近于），轴的发散。当序列以不同方式发散会展现不同的性态时，这种紧化就会自然地出现。
紧化的另一个用途是，它时常能够严格地把一种类型的数学对象看成其他对象的极限。例如，只要把圆周的空间适当紧化，使之包括直线，就可以把直线看成越来越大的圆周的极限。这种前景使我们能够从关于圆周的定理导出关于直线的定理，或者反过来从关于直线的定理导出关于很大的圆周的定理。
再举在一个很不相同的数学领域里的例子，狄拉克的delta函数本来不是严格意义下的函数，但是在某些函数空间里，例如在某种测度空间或者广义函数空间里，存在某种（局部的）紧化，使我们可以把 delta 函数看成经典的函数的极限。我们还可以利用紧化把连续的东西看成离散的东西的极限，例如循环群序列
就可以紧化为圆群（circle group）T=R/Z。这些简单的例子可以推广为紧化的很精巧的例子，而在几何、分析与代数中有很多应用。
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