(2017·湖北宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=0.5S△ADE，求此时抛物线的表达式．
【图文解析】
(1)先分析a+b+c=0可以得到抛物经过点(1,0)，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x=1.
(2)法一:由2a=b代入a+b+c=0可得 c=-3a所以y=ax2+2ax-3a=a(x+1)2 -4a
可得抛物线y=ax2+bx+c的顶点A(-1,-4a)因为2a=b＞0＞c所以-4a小于0点Ａ在第三象限；
【反思】含参数的二次函数消元是解决问题关键．由y=ax2+2ax-3a当y=0时ax2+2ax-3a＝0解得x=1或-3所以抛物线过(1,0)、(-3,0)由对称性对称轴为
x=－1，由动态图可以看出抛物线只能是沿对称轴上下平移．因为a＞0顶点只能在第三象限．
【动画展示】
(3)∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，
∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°，
∵点F在对称轴左侧的抛物线上，
则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1
【动画展示】
说明顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O
图文解析：
【反思】此题要掌握(1)直线y=x+m隐含45度的角，从而三角形OBC是等腰直角三角形．(2)△ADF与△BOC相似，顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形.(3)等腰直角△ADF的面积为1.
联系客服
