圆锥曲线中离心率的求解
编辑:admin 日期:2011-5-9 9:28:07 浏览:0 来源: 冯婷
离心率是圆锥曲线中一个非常重要的基本量，它可以用来统一定义和刻画圆锥曲线，因此在解析几何问题中往往涉及到离心率的计算和讨论等。对于解析几何习题，若能将题中条件与离心率巧妙地联系起来，往往可以使得解题过程简化，起到计算简便的功效。离心率的求解通常情况下有以下几种方法：
一、根据离心率公式
，通过基本量的计算直接求离心率
若根据题目已知条件可以求得
的值或者是
三者之间的关系，那么可以根据离心率的定义直接求得。
例1 （08年浙江高考）若双曲线
的两个焦点到一条准线的距离之比为
，则双曲线的离心率是（ ）
A. 3 B. 5 C.
D.
解：根据双曲线定义可知，双曲线两个焦点的坐标为
，准线方程为
。由题意可知，
由此可得，
，则
，故选D。
例2 （09江西文）设
和
为双曲线
的两个焦点, 若
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) w.
A.
B.
C.
D. 3
解：由题意可知，
的坐标为
。而
三点是正三角形的三个顶点，由正三角形的性质可知，
，则
，
，故选B。
例3 （09全国Ⅰ理）设双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.
B. 2 C.
D.
解：双曲线
的渐近线方程为
。而
，则抛物线
上点
处切线的斜率为
。由题意可知，在抛物线上存在点
，使得
，解得
，则
，故选C。
二、数形结合
在较复杂的题型中，若根据题目条件无法直观判断
的值或者是
三者之间的数量关系时，可以借助图形来帮助我们梳理题目条件从中等到等量或不等量关系，从而求得离心率。
例4 （09浙江理）过双曲线
的右顶点
作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
．若
，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B．
C．
D．
解：由题意可知，
点坐标
。则过
斜率为
的直线方程为
。而双曲线的渐近线方程为
，由此可以联立方程
，解得该直线与渐近线的交点坐标为
由图可知，
点坐标
，
点坐标
，则
，解得
，故选C。
例5 （10年四川文）椭圆
的右焦点
，其右准线与
轴的交点为
，在椭圆上存在点
满足线段
的垂直平分线过点
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意可知，
。线段
的垂直平分线过点
，则
而
，于是
，即
，解得
而
，故选D
三、运用向量、三角形、不等式等知识点帮助求解离心率
若题目条件中给出了角度等相关信息时，往往需要结合向量、三角形、不等式中的相关知识点来帮助求解离心率，如数量积，向量平行或垂直，余弦定理，基本不等式等等。
例6 已知是
椭圆的两个焦点，满足
的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。
解：注意，由于本题没有对椭圆位置做出说明，因此为确定
坐标，需要对椭圆焦点位置进行讨论。设
点坐标为
（1）若椭圆焦点在
轴上时，设椭圆标准方程为
，此时
坐标为
，则
，即
，所以
点在以原点为圆心
为半径的圆内。而点
总在椭圆内部，
，即
，解得
，即
（2）若椭圆焦点在
轴上时，设椭圆标准方程为
，此时
坐标为
，则
，即
，所以
点在以原点为圆心
为半径的圆内。同理也可得，
。
综上所述可得，椭圆离心率的取值范围是
。
例7 （08全国高考）在
中，
，若以
为焦点的椭圆经过点
，则该椭圆离心率
= 。
解：如图，以
中点为坐标原点，
所在直线为
轴，
中垂线为
轴，建立直角坐标系。
设椭圆标准方程为
，则
。
，由余弦定理可得，
。
而
点在椭圆上，由椭圆定义可知，
例8 已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线左支上一点，
到左准线距离为
，并且
为
与
的等比中项，求双曲线离心率
的取值范围。
解：如图，设点
，由双曲线第二定义可知，
，而
。由题意可得
，代入得
解得，
因为点
在双曲线左支上，
，即
解得，
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