【一题多解】60°角的对边长为两邻边高的垂足间的距离的2倍

发解题的习惯了之后，不发几个题，感觉不得劲哈。

下面继续发一道几何题。

只要学了初二下的知识，基本就可以搞定了。

【题目】

如图，∠B=60°，AD⊥BC，CE⊥AB，求证：AC=2DE。

【方法一】

取AC的中点F，连接EF与DF。

得EF=DF=1/2AC。

由∠B=60°得∠BAC+∠BCA=120°，

那么∠AFE+∠DFC=120°，

则∠EFD=60°，得△DEF为等边三角形，结论得证。

备注：直角三角形取斜边中点得斜边中线为斜边的一半。

【方法二】

如下图，连接AB与BC的中点G、H，得中位线GH=1/2AC。

只需证明GH=DE即可得到结论。

那么想到的就是利用全等。

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，那么可以得到BE=1/2BC=BH，

同理可得BD=BG，

且公共角为∠B，那么得到两个三角形全等。

备注：证明倍半关系，可以考虑构造中位线。

【方法三】

观察易得△BDE∽△BCA。

那怎么证明呢？

由于AC为两个直角三角形△AEC与△ADC的公共斜边，

易得A、E、D、C四点共圆，那么就可以得到对角互补，

进而得到∠BDE=∠CAE，同理得∠BED=∠ACB，

所以两个三角形相似得证。

那么就可以得到DE/AC=BD/AB=1/2.

结论得证。

备注：有公共斜边的两个直角三角形的顶点共圆。

【方法四】

在上面的基础上，可以得到下面的两个三角形相似。

也就是得到DE/AC=DF/CF=1/2.

备注：如上图，圆内的相交线产生的两个三角形相似（可以得到相交线定理）。

【方法五】

直接建系设点坐标，表示出线段长即可。

设点A、B、C的坐标，得到AB与CE的方程，得点E的坐标，进而得到DE与AC的长度。结果得证。

当然，本题还可以利用高中的正弦定理等方法进行求解，这里就不拓展了。