例题:(初中数学奥赛题)如图,在矩形ABCD中,已知O是矩形内一点,且OA=1,OB=3,OC=4,求OD的长。
分析:此题图形比较简单,条件较少,而要求的问题与已知条件的线段类似。如果直接通过给出的图形求解,似乎无从下手,因为没有任何特殊的三角形或者四边形,所以必须考虑作出适当的辅助线,首先考虑的是作垂线,构造直角三角形。
下面,我们就从关键点O出发作垂线,过O作EF⊥AD于E,交BC于F;过O作GH⊥DC于G,交AB于H。这样一来就得到了很多直角三角形,然后运用勾股定理可以得到几组等式。在三角形ODG中,OD^2=OG^2+DG^2=OG^2+OE^2,如果能够求出OG^2+OE^2的值,问题即可得到解决。
解:如图,过O作EF⊥AD于E,交BC于F,过O作GH⊥DC于G,交AB于H。
设OE=a,OG=b,OF=c,OH=d,
因为OA=1,OB=3,OC=4,
观察图形,由勾股定理可得(省略部分过程)
a^2 = OA^2-d^2=1-d^2
b^2 = OC^2-c^2=16-c^2
OH^2+OF^2=OB^2,即d^2+c^2=3^2=9
所以OD^2=OE^2+OG^2=a^2+b^2=1-d^2 + 16-c^2
=17-(d^2+c^2)=17-9=8
所以OD=2√2
答:OD的长是2√2。
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