数学解题中妙趣横生的辩证思维

作者简介：李红春，湖北黄陂人，中学高级教师,中国教师发展网新高考研究院特聘研究专家，武汉市高中命题库核心成员,《中学数学》（高中版）特约编委．黄鹤英才卢琼名师工作室成员，“全国数学联赛优秀教练员‘’、“武汉市优秀青年教师”、“武汉市优秀备课组长”,“武汉市优秀主讲专家”，黄陂区学科带头人，近5年在《数学通讯》等国家级、省级教育教学期刊上发表论文200余篇.

数学辩证思维是从联系、运动、发展的三个方面来考查对象，它在教学研究和数学学习中起着重要的作用，它是解决数学问题的重要策略，教学过程中教师对学生进行辩证思维的启发和培养，使学生逐步形成一种自觉的辩证思维能力，对学生的终身发展有着重要的意义．笔者结合近二十年的教学经历，从九个方面通过实例展示辩证思想在数学解题中的渗透．

１、抽象与具体

高度的抽象性是数学区别于其他学科的最显著特点之一，善于将抽象概念形象化，抽象符号具体化，抽象问题情境化，抽象方法直观化，抽象表述通俗化，可以有效降低抽象程度，减轻学生学习的难度．

点评：这是一个典型的将抽象问题情境化的例子，将冰冷抽象的数学式子赋予具体的生活背景，思考起来生动形象，妙趣横生，让人难以忘怀．

2、特殊与一般

一般性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，通过特殊可认识一般．数学解题中，对特殊问题的研究、感悟、归纳、概括、提炼是解决一般问题的重要策略．

点评：本题求解如此复杂，如何想到的？其实，首先由已知条件可联想特例，由特例f(x)=cosπx猜测抽象函数f(x)也该有如下性质：如偶函数、有周期性、f(0)=1等，辨别哪些条件对解题有帮助，再一一从一般情况证明，基于这些性质，再将问题解决．

3、繁与简

当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题．

点评：本题从整体上入手比较困难，退回局部分析，局部研究清楚后整体便不攻自破．形式上的简单，有时是思维上的复杂，形式上的复杂有时却是思维的简单，这同样是一种智慧．

4、分与合

分类讨论是数学中重要的数学思想，很多数学问题因要考虑的情形较多，一般分开研究再综合一起，但也不能形成思维定势，有时不分反而是一种智慧．

点评：对于“连不等式”，通常是分成两个分式不等式单独求解，再取交集，本题的解答反其道而行，让人耳目一新，其中蕴含的哲理却相当深刻，数学解题要善于变通，不可思维单一．

5、主与次

“横看成林侧成峰”，不同的角度看到的问题不尽相同，解数学题要学会统揽全局，尤其是遇到多重限制条件时更要分清主次，换位思考．

例5、从6人中选出4人分别去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市旅游，要求每个城市有1人游览，要求每个人只游览一个城市，且这6个人中甲乙不去巴黎，则不同的选择方案共有______．

点评：本题涉及“地点”和“人员”两个要素，分析问题时，以哪个要素为“主导”，虽然有随意性，但难易程度迥然不同．

6、进与退

数学解题就是一个不但转化的过程，将未知的转化为已知的，陌生的转化为熟悉的，形式繁杂的转化形式为简单的过程，但也不是绝对的．

7、正与反

“正难则反”,本质是一种“转换”的数学思想,是一种打破常规思维,采用逆向思考的解题策略.但一个问题正面的确很复杂，是否真的需要从反面入手也是充满智慧，需要因题而异的．

点评：本题如果不深入思考，从正面入手确实需要分7种情况讨论，因此大部分人会选择从反面入手，但如果你细心理解两个集合“并集”的概念就是指“元素至少来自其中一个集合”，你会恍然大悟．

8、静与动

唯物辩证法认为，世间万事万物都处于运动状态之中，运动是绝对的，静止是相对的，动中有静，静中有动．只有在运动的事物中寻求相对的静止，才能把握事物的本质，只有用运动的观点看待事物，才能把握事物的全貌，二者是辨证统一的关系．数学中的很多问题，就体现着这样的辩证关系．

点评：本题题干中指明了点为定点，为何分析时偏偏看成动点？这其中是充满智慧的，动中觅静，静中思动，以静制动，动静结合，这是数学解题中的辩证法．

9、实与虚

“ 虚”与“实”实际上是一对对立统一体，解题中如果一味“求实”，有时会“山穷水尽”，智慧的“就虚”有时能“柳暗花明”．

点评：函数的零点客观存在，但精确值无法求出，如果一味的纠结，将寸步难行，采用“虚设零点”的方法巧妙将障碍绕过去，体现了“避实就虚”的思想．

数学是一种文化，数学教育的基本宗旨是实现“人”的培养，在数学解题中教会学生用辩证的思维看待问题，既能激发大家学习数学的兴趣，又能防止思维固化，提高思维的灵活性，真是大有裨益．

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