数学是基础学科的基础学科，是科学中的科学。可以说，没有一个学科能比得上数学对人类所具有的重大意义和创造出的根本之美。
我们中华儿女不缺乏考试时的优良数字成绩，但缺乏对数学的根本重视和由衷喜欢。
细看集诗人、摄影家、作家、数学家于一身的浙江大学教授蔡天新的《数学简史》，感受颇深。
一、数学的发展和意义
数万年前，人类就开始了计数。二进制、五进制、八进制、十进制、十二进制、十六进制，甚至六十进制，不同时期、不同地区的人类都采用过。最后普遍接受了十进制，或许与人有十根手指有关。
我们平常使用的1、2、3等阿拉伯数字，实际上是由印度人发明的，然后由阿拉伯人传到欧洲而通用于世。因此，准确地说，这套数字应叫做印度-阿拉伯数字。自从这套数字被普遍认可和使用后，世界便有了一种最通用的语言。
古代数学也就是从计数和算术开始的，全部的原因都是因为实际需要。因为要解决记账、交租、分配东西等问题，就产生了代数；要计算土地的面积、粮仓的体积等，就产生了几何；而要对天文历法和航海船舶进行计算和确定位置，就需要把代数和几何同时运用，便又产生了解析几何。
古代社会主要是狩猎采集和农耕畜牧，人们的生产和生活主要依靠的肯定还是经验，但在某些方面已经离不开数学了，数学的意义已经显现出来。有时宗教或统治阶层还将数学作为统治和愚昧大众的工具。他们可以准确地使用数学计算出的结果，却告诉底层百姓这是神灵的旨意，而神灵是通过他们来传递意见和管理这个世界的。比如要估算一个圆柱体大粮仓的粮食有多少，古埃及人已知道粮仓的体积V=Sh（S底面积、h高度），还知道在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大，所以粮仓才是圆的，而一般老百姓哪里能猜得准这大仓里会有多少粮食。
近代数学的本质是将变量引入了数学。可以说，近代数学是关于变量的数学，而古代数学是关于常量的数学。
在这个过程中，将代数方法用于几何而创立的解析几何，是数学上的一个里程碑式的贡献。而更具有跨时代意义的微积分的创立，使数学在自然和社会科学中得到了更广泛应用，尤其是对各种机械、天体、武器、航海等运动的变化状态的准确描述得以解决，极大地促进了物理学、天文学、光学、军事学等学科的发展，奠定了现在社会的基础。
其中具有典型代表性的是牛顿的三大定律和万有引力定律的完美数学表达。
在工业化时代，虽然数学起到了很重要的作用，但表现最直接的还是物理学。人们更加认可，是明确揭示了物质运动规律的物理学极大地推动了社会的发展，使人们从古代社会、或中世纪、或农业社会一下子来到了工业社会。但同时也不可否认，数学在这个时期也更加成熟。不仅在代数、几何的基础上，又添加了分析，形成了数学的三大分支，而且数学分析比高等代数和解析几何变得更重要。尤其是概率论的创立及后来出现的统计学，使数学方法广泛应用于从物理学到社会科学、人文科学、工商管理、政府决策。这也预示着现代社会的到来，也又促进了现代数学的发展。
现代数学已经更加繁荣，不再只是几何、代数和分析这三门传统学科了，已经成为高度融合、分支众多、结构庞杂的知识体系。数学的特点也不再只是严密的逻辑性，又有了高度概括的抽象性和高效广泛的实用性，并因此形成了两大数学范畴—纯粹数学和应用数学。其中，从属应用数学的计算机科学和统计学都成为了大学的一级学科，有的大学还同时拥有两个计算机学院。仅计算机科学这一应用数学，对就业、经济、社会、生活等方面的巨大和普遍意义，就不言自明了。
数学的抽象性推动了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓朴学和抽象代数这四大数学分支的崛起。有人称之为是现代数学的四朵抽象数学之花。
而数学的应用性表现得更加广泛。
在物理学方面，20世纪以后的相对论、量子力学和基本粒子方面，都有了准确的数学表达。
在生物学方面，1926年意大利数学家沃尔泰拉成功地用方程式dx/dt=ax-bxy、dy/dt=cxy-dy，解释了地中海不同鱼种的周期消长，开辟了用微分方程建立生物模型的先河；20世纪50年代，英国和美国出现了轰动世界的描述神经脉冲传导和视觉系统侧抑制作用的两个方程式，开启了数学界和生物学界交融的新篇章；1984年，新西兰出生的美国数学家琼斯建立了对DNA结构中扭结进行分类的不变量多项式，这意味着生命的奥秘将可能被彻底揭开；1963年，南非出生的美国物理学家科马克建立了人体不同组织对x射线吸收量的计算公式，直接促使了CT扫描仪的产生并在临床成功使用。
在经济方面，尤其是金融业，期权定价、折现率、违约概率等离开数学已寸步难行，花旗银行说其70%的业务靠数学来实现，离开数学就得关门。
在管理方面，对于如何获得系统最优解的运筹学，对于研究动态系统在变换环境下如何保持稳定的控制学，对于研究信息变化规律的信息学，更是需要数学模型去解决。
在社会历史方面，20世纪数学的主流——结构数学，已运用于精神分析学、文学、马克思主义理论和社会历史学。
在军事武器方面，核武、飞机、航母、导弹、潜艇等，哪个离得开数学的精确计算。一个导弹能够多弹头地尾随跟踪，而另一个导弹可以多弹头地拦截爆炸，几乎都是一个个的数学公式在起着根本作用。
在计算机方面，得益于云计算、大数据、神经网络技术的发展和摩尔定律的人工智能已在逻辑思维上超过了人类，未来在感情和决策等思维方面也可能得益于模糊数学而超越人类。如果脑细胞的数学运算是人类全部行为和心理的决策机制，那么每个人的命运都是先天已定，你一开始就可以知道你一生的历程。人们必须想象，那该是一个怎样的时代。
现代数学还在飞速发展，拥有波兰和美国双重国籍的数学家曼德勃罗已建立起有关斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学，它的维数可以众多且不是整数；法国拓朴学家、菲尔兹奖得主托姆提出了突变理论等。人们期望着模糊数学作为一个数学分支能够成熟，人类将因此跨入一个崭新的时代，即人工智能全面超越人类。至少人们尽可期待，21世纪的数学将更加丰富多彩，必将极大推动人工智能、基因工程和纳米技术的发展。
几乎可以毫无疑问地说，现代社会已被数学所左右。谁掌握了数学，谁就从根本上掌握了世界。数学比任何时候都具有最本质的、甚至最直接的决定力量。
二、数学的美
数学的美表现在很多方面：
1、数学符号之美
数学符号，是人类社会有史以来最简明和最通用的语言。它比各民族、各国家的不同语言更加简单和通用，或许也是将来人类与外星人沟通的唯一可使用语言。
借此机会，我们罗列一下常用的数学符号及其发明者，供大家欣赏：
小小简单的符号，奏出的是每个人都多少能听懂的无声音乐，书写的是每个人都多少能看明白的简洁文章，均给我们带来了无限的纯洁抽象之美。只可惜，上述数学符号当中没有一个是我们中华儿女发明的。这说明我们在创造数学符号之美的领域上，还没有入门。
2、数学公式之美
数学教授面对满黑板的数字和符号无比陶醉，在他心中和眼中，那些数学元素都是跳动演奏着的音符。他熟练地书写和讲解，尽情地欣赏和演奏，在台下一片疑惑的眼神中，挥洒着一个数学家的潇洒和自如。这是清晰记得的博士学习时的数学课堂上的情景。
是的，几个小小符号组成的一个简短公式，确实让人感到了简单的美、有序的美、抽象的美和完整的美。
比如古希腊数学家阿基米德发现的球的体积公式（R为半径）：
意大利物理学家伽利略给出的自由落体运动规律的数学公式：
H=½gt²
古波斯智者纳西尔丁论证的三角形的三个角和三个边的关系（A、B、C为三角，对应三个边长为a、b、c）：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
古希腊数学家海伦发现的三角形面积公式（s=面积；p=a+b+c，a、b、c为三边长）：
而德国数学家、哲学家莱布尼茨给出的圆周率的无穷表达式：
真可谓把这些数学美从形式上推到了极致。自此之后，人们对圆周率再也不用比赛谁能算出小数点后几位几位了。
如果说世界上任何事物都不能算是完美，数学公式将是例外。在现实世界只能欣赏缺憾之美，在数学王国却可以看到这种完整的美，在这个公式计算之下，结果不会有任何意外。
3、数学可以直接创造美
从音乐和舞蹈上来讲，一根调好的琴弦缩至1/2，将会奏出一个高八度音；缩至2/3，将会奏出一个低四音。诸如此类，数就是音乐教程。舞蹈不仅要随乐而舞，而且人们更希望看到符合数学比例的美妙身材。更重要的是，想感受到每个舞步和动作表达的内涵，而这种舞步和动作就如同数学符号一样，简洁又丰富，诠释着人和自然的内在世界。
从书法和绘画上来讲，数学的黄金分割被广泛应用。一副优美的书法绘画作品，首先要比例得当，整体和谐，否则再好的技巧和色彩，都难入一流。现在的抽象画派与数学的抽象性何其相似，没有主题，就是抽象画最大的主题。比如梵高的星空，就像数学的分支模糊数学一样。
从建筑和雕塑上来讲，对数学的运用更加多面化。从点到线、从平面到立体，在比例、对称、结构等方面都要进行数学的布局和计算，否则别说给人以美的享受，恐怕本身都难以成型。
从戏曲和电影来讲，两者从根本上也可以说是数学的表现。它们不过是将人和故事搬上银幕而动态化了音乐、舞蹈、书法、绘画、建筑和雕塑。人体本身就含有各式各样的数学内容，比如两臂平行伸展后两个指尖的宽度约等于身高。把各种故事以最简单和最让人容易听懂的方法讲清楚，从根本上使用的也是数学逻辑。
从诗词等文学作品来讲，或直接对文字和句子有数的要求，或内在地对段落、篇章和整体有逻辑的要求。数学就是关于数、形、物和事的抽象逻辑，数学是这个世界的最基本的逻辑，文学作品不过是这个逻辑表现的一种形式。有科学研究说，组成世界的最小结构就是数学（一种只有能量没有质量不能再分割的最小存在），若真的如此，世界就是一台大的计算机，过去、现在和未来已皆有定数，那这些文学作品只是早已存在的文字在数学上的排列组合。
希腊人将美看作秩序、一致、完整和清晰，而这些恰恰是数学最鲜明的特点。亚里士多德更是认为，秩序和对称是美的主要因素，他不愿把美学和数学分开。古希腊新哲学的先驱、伟大的数学家毕达哥拉斯，在中世纪时同时被视为算数、几何、音乐、天文“四艺”的鼻祖，可见数学与艺术在同一个人身上的内在一致性。
不仅是一个人，一个民族和国家也是如此。德国人是最擅长抽象思维的民族之一，在数学、哲学和音乐等方面均是人才辈出，直接体现了数学和哲学、音乐的内在一致性。
事实上，古代数学家和哲学家往往是一回事。上面提到的毕达哥拉斯就是这方面的一个经典代表人物。
近代数学和哲学又再次结合在了一起，本文第三大部分提到的莱布尼茨堪为代表性人物。
而要证明数学与艺术也紧密相关，最典型的是以浪漫和优雅著称的法国人。17世纪以来，法国在数学方面长盛不衰，大师级人物层出不穷。从1936年相当于诺贝尔级别的数学领域最高奖项菲尔兹奖设立以来，已经有11位法国人摘此桂冠。只拥有几千万人口的小小法国的获奖人数，仅次于超级大国——美国的13位，让人不得不相信天才的数学头脑中同样充满着浓重的艺术气息。反观我们中国人，在数学和艺术方面均少有世界公认的成就，也从反面说明了数学和艺术之美的一致性。
目前，无论是数学、自然科学还是艺术、人文领域，人们的审美观念都发生了很大改变，复杂、抽象、深刻已成为他们共同的评判标准和尺度之一，而这恰恰是现代数学的特点。这种综合代表性的人物也许就是下文中提到的阿尔贝蒂。
三、世界级大师对数学的评价
古希腊哲学家柏拉图在其创办的柏拉图学院门口刻着这样的文字：不懂几何的人，请勿入内。这使柏拉图及其学院赢得了“数学家的缔造者”的美名。或许这只是一个长期流传的故事，但可称得上是纯粹数学家中对人类走向的世界历史最具影响的《几何原本》的作者、古希腊数学家欧几里德早年曾到柏拉图学院学习几何学，却应是一个事实。有人说，当时所有希腊的知识分子都被数学之美、永恒和纯粹所震撼。
柏拉图说，上帝是伟大的几何学家；德国数学家雅可比说，上帝是一位算术家。无论是几何还是代数，都说明上帝逃不出是一位数学家的概念。新哲学先驱也是最伟大的数学家之一的毕达哥拉斯说，一旦掌握了数的结构，就控制了世界，数是神的语言，唯有数和神是可以永恒的，2600多年前的毕氏对数学的评价在今天应验得越来越准。
德国著名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法和内容与数学相结合的程度，数学成了打开知识大门的金钥匙，是科学的皇后。集雕刻家、建筑师、画家、文学家、数学家、哲学家于一身的意大利文艺复兴全才阿尔贝蒂说，我希望画家应当通晓全部自由艺术，但我首先希望他们精通几何学。
被后世尊为近代哲学之父的法国横跨科学与人文两大领域的巨人笛卡尔认为，世界上的一切问题都可以归结为数学问题，数学问题又可以归结为代数问题，代数问题又可以归结为方程问题。德国著名数学家、哲学家莱布尼茨想尝试创造一种包罗万象的微积分和普遍性的技术语言，使人类社会的所有问题都迎刃而解。这两位大师是要把数学当作唯一可靠可信的方法，并在此基础上重建人类知识体系。
俄国画家康定斯基是世界抽象艺术派的代表人物，他认为数是各类艺术最终的抽象表现。英国著名哲学家罗素认为，伦理学之中庸之道等概念也可能来自于数学。而逻辑学本身就属于哲学，哲学家与数学家开始时往往是同一人。亚里士多德在数学领域最重要的贡献就是将数学推理规范化和系统化，而他恰恰也是逻辑学的开山鼻祖。数学其实就是最完美的逻辑学，也可以说，在未来人工智能可能超越人类本身的社会里，谁能够创建和掌握新的伦理学和逻辑学，谁就可以掌握世界。就像过去以论证为基础的无懈可击的《几何原本》，可能就是导致现今西方社会高度民主和法治的根源那样。
数学已经缔造了人类最美的现代文明，还可能会再次创造人类更美好的明天，只不过直接表现出来的可能是人们看得见、摸得着而且随时可用的应用数学成果而已。
希望我们中国人感悟到数学这个基础学科的魅力和重要性，使数学知识、数学方法、数学思维、数学思想，也就是科学和科学观念，能成为我们思考、决策和行事的核心准则并彻底践行，使我们的民族和国家真正立于磐石之上。
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