中学数学重大错误：将N外自然数误为N内数

     黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]中学常识：图A≌A、区间[0，x>0]∪（x>0，2x]∪…的子区间[0，x]之外还有正数、…凸显“已非常成熟”的初等数学在数与形的结合上一直存在尖锐自相矛盾，原因是初数一直将R外数误为R内数。医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的N外自然数误为N内数从而将N的真扩集误为N、将根本不是N的真子集误为其真子集，就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。中学的≌图概念让3千年都无人能识的等长却不等形的“更无理”直线段一下子露出原形。≌图概念和区间概念让5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准自然数（实数）一下子浮出水面，不识这类“更无理”数使初数一直存在尖锐自相矛盾。

[关键词]用而不知的R外“更无理”标准实数推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；推翻直线公理和百年集论；似是而非的假N(R)

教（学）而不思是师生的大敌。教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的高尚品德。科教界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。美国著名数学教授M·克莱因很有代表性地断定：“实数系统已经用了五千多年，无数关于实数的理论均被证明，仍未发现任何矛盾。实数公理产生了许多著名定理，…^[1]”。然而本文表明：五千年都无人能发现任何矛盾的原因不是真的不存在尖锐矛盾而只是一直缺乏发现尖锐矛盾的慧眼罢了，正如没放大镜和望远镜时人们就一直以为鸡蛋壳“天衣无缝”月亮是光滑球体一样。钱学森院士非常重视逆向思维，“没任何矛盾”的逆向思维是：存在尖锐矛盾。人类认识自然数已有5000多年。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。直线（段）是初等数学中最简单、基本的图形。初数中关于自然数组成的数列（集）的理论以及关于直线（段）的理论，是初数中的初数。中学生应懂的数学、逻辑学常识凸显：⑴有无穷多等长直线段互不≌从而更不相等，初数却一直将这无穷多各异直线段误为同一线段；⑵初数一直将“自然数集”N外数误为N内数从而将根本不是N的真子集误为其真子集，从而使康脱推出康健离脱的百年病态集论。

1.图说中学的数集最起码常识推翻直线公（定）理和中学几百年函数“常识”——图A=B的必要条件是A≌B

初等几何有史2300多年来一直认定：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异点有且只能有一条直线。继而有……。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。自有直线概念后的2300多年里一直无人能知有互不≌的直线。

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。变数n取自然数∈N。挖去N=｛n≥0｝的0得N⁺=｛n≥1｝⊂N。“实数集”R所有非负元x≥0组成R⁺。R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xⁿ（n≥2）等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。

天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是数轴上点的坐标，于是x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置x+δ=y还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，两变数可形象化为g内两动点。设各点只能作位置改变而不能作别的改变即变位前、后的点是同一点。

设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”是直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。因数集A各数可是数轴上点的坐标故可将A看成是点集，例“A的元点x=1”就是表示坐标为1的x轴上的点。定义：若点集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。数学图形可是“离散”的点组成的点集。由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这3个点∈A，但其不保距地改变位置后形成的点集与A有不同的“长相”。框框……内的点集（图形）K中若至少有一对点之间的距离变小（大）（但各点都不能与别的点重合）则必使K变形为≠K，点还是这框框内的几个点，但其保序不保距地改变位置后形成的新点集与K有不同的“长相”; K中若有两点的距离由≠0变为=0则有可能等价于挖去K一个点使K变为其真子集。

k=1.001,R各元x不保距变为y=kx组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=kx生成元为点y的y=kx轴即x轴拉伸（放大）变换为y=kx轴（不≌x轴）叠压在x轴上（y=1.001x轴可压缩变换为x轴）。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应（1±0.001）x的全体是R），因有直线公理。其实这是违反数集最起码常识的肉眼直观错觉。

数集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛0，2，4｝≈｛0，2.001，4｝）。中学生就应知：集各元x变为y=x的变换称为集的恒等变换。本文最关键的论据之一：若A与B是同一集则A必能（不是“只能”）恒等变换地变为B=A，即必可有x↔y=x。

｛1，0，2｝≈｛1.001，0，2.001｝（前者保序变为后者）是因两集的元一一对应相等或近似相等。同样上述x轴各元x与y=1.001x轴各元y=1.001x≈x一一对应相等或近似相等：x↔y=1.001x（↔两边的x是同一x）≈x(x=0时y=0)使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换, x轴近似恒等变换地变为y=1.001x（≈x）轴≈x轴。显然R各非0元x只可与各对应数y=1.001x=x+0.001x中的x一一对应相等而与各y=（1+0.001）x≈x本身一一对应近似相等。可见数集相等及近似相等概念表明x轴伸缩变为y=kx （正常数k≠1）轴≠x轴，当k≈1时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。在放大、缩小变换：x↔kx（↔两边的x是同一x）中当且仅当放缩系数（正常数）k=1时才是恒等变换（k≈1时是近似恒等变换），即当且仅当k=1时各x与各对应数kx才能一一对应相等。可见在均匀拉伸（压缩）变换中，当且仅当伸缩系数=1时才是恒等变换。所以应有

h几何起码常识:至少有两个元点的图A均匀拉伸（压缩）变为B（不≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。

点（x，y=x）与点（x，y′≈x）近似重合。R=｛x｝=｛y=x｝，若x（y）是点的横（纵）坐标则R各元y=x变为y′=1.001x的几何意义可是：相应直线A：y=x各元点p（x，y=x）的纵标y=x变为y′=1.001x（横标不变）得点p′（x，y′=1.001x≈x），点p′的全体是直线B：y′=1.001x≈x。A≈B的原因是A、B各元点p、p′的纵标y∈R与y′一一对应相等或近似相等：y=x↔y′≈x。显然若纵标y（x）与y′（x）一一对应相等则两线各元点p′与p必一一对应重合使两线重合。所以A、B不重合形象地说明R各元x与各对应数1.001x不可一一对应相等，即形象说明x轴拉伸变为y=1.001x轴≠x轴。同样可形象说明x轴压缩变为y=（1-0.001）x轴≠x轴。详论见[2]。

“无界”的曲、直线y=x³、 y=x互不≌从而更不相等。工程图有虚线，可将“无界”的“整数点集”Z=｛x=±n｝（x是点的坐标）看成是⊂R轴的“虚直线”:.......（这不是省略号），Z各元点x=±n（n∈N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n生成｛±2n｝(虚直线)不≌Z从而更≠Z。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。

h定理1：数（点）集A=B≌B的必要条件是A≌B（初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图B≌B）。

证：若A=B则A必可恒等变换（一种保距变换）地变为B=A≌A。证毕。

两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。x轴（空间直线）保序不保距地伸缩变换为y=kx轴（正常数k≠1）不≌x轴，据h定理1x轴≠y轴，即y轴是似是而非的假x轴；直线公理使中学几百年解析几何一直将两异直线误为同一线。x轴的子部射线R⁺={x≥0}⊂x轴伸缩成射线G=｛y=xⁿ（n≥2）≥0｝不≌R⁺，据h定理1G≠R⁺，中学“G=R⁺”是将两异射线误为同一线。

点集｛...｝均匀拉伸变换为｛.  .  .｝，相比下前（后）者是结构较紧实（松散）的点集。当规定各点只能作位置改变而不能作别的改变时，均匀拉伸变换将相比下结构较紧实的点集拉伸成结构较松散的点集。

一平面V由一个个小正方形盘“瓷砖”组成（正方形盘各元点分别表示相应的复数），现各小正方形盘都相应变大为较大的大正方形盘得一新的平面W不≌V。这V变为W是V的均匀放大变换。正方形盘是构建平面的“瓷砖”，放大变换只能使各瓷砖变大不能使瓷砖有任何减少。稍有一点头脑的人都能看出由大瓷砖组成的W与由小瓷砖组成的V根本不同。显然放大变换不能使点集变为它的真子集。

复平面z均匀拉伸（放大）变为新的平面2z不≌z面，据h定理1z面≠2z面，据下述真扩集定理～z面的2z面不是z面的任何真子集。2z面≠z面且也不是z面的任何真子集说明2z面不能被z面包含而必有“更无理”的复数点2z∈2z面“更无理”地突出在z面之外。将各异平面误为同一面自然就会将各异直线误为同一线，因平面由无穷多相互∥的直线组成。

点集的保距变换是刚体运动，保距变换的特点之一：一个点只能变为一个点。R⊃N各元x有对应标准数y=f（x）=kx。x轴各元点（x，y=0）变为两个对应点：（x，y=0）、（x，y=2x），所有对应点形成的点集是两条直线：y=0、y=2x合并成的直线集不≌x轴。这“一变二”（即用两个点替换一个点）的变换不是x轴的刚体运动即不是保距变换从而使变换前后的点集不≌。这“一变二”变换将一直线（x轴）变为两条直线，集随元的变换而变换。

点集的伸缩变换不是刚体运动。射线R⁺={x≥0}⊂x轴各点x≥0不保距变为点x+δ=y=1.001x≥0生成B=｛y=1.001x≥0｝即射线R⁺拉伸成射线B=｛y=1.001x≈x≥0｝不≌R⁺，据h定理1R⁺≠B，射线R⁺～B，据下述真扩集定理～R⁺的B不是R⁺的任何真子集（数学一直认定B不⊂R⁺）。B≠R⁺且也不⊂R⁺说明B=｛y｝不能被R⁺包含而必有元y=1.001x=t>0在R⁺外。R⁺={x≥0}各点x变为两个点：x和y=1.001x生成J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=R⁺∪B，R⁺变为J的变换等价于R⁺先拉伸成B不≌R⁺，然后B与R⁺合并成J，这显然不是R⁺的刚体运动即不是保距变换使J不≌R⁺，据h定理1J≠R⁺。包含R⁺的J=R⁺∪B≠R⁺说明J中的B=｛y｝必有元y=1.001x=t>0在R⁺外。这R⁺外的t显然是R外标准正数。人类发现无理数后的2500年里一直无人能识“更无理”数t使初数一直将R外t误为R内数从而一直有函数“常识”：R各元x的对应1.001x的全体是R。可见R中有“更无理”正数x使其对应数y=1.001x在R外而不能与R任何数对应相等（可与R中相应数近似相等），从而使上述x轴≠1.001x轴推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。注：R各元x变为y=x²生成G=｛y=x²≥0｝，S=R∪G=R≌R吗？第4节证明了G不是R的任何真子集，所以S≠R。

“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。R⁺-{0}=C={x>0}，“对一切负数x都有对应y=x+1>x”明确表示有数y>一切负数x，同样“对C一个不漏的每一（一切）元x>0都有对应y=1.001x>x即对C⊂R⁺一切元x>0都有正数y比x大”明确表示有“更无理”正数y=1.001x=t>C⊂R⁺一切元x（这t显然是>R一切正数x的标准无穷大数），关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义，“真理都是很朴实的”。这说明R中有“更无理”的“太大”正数x大到使其对应数y=1.001x=t∈B=｛y｝大于R一切正数——说明射线B=｛y=1.001≥0｝是比R⁺长的射线——表明射（直）线的均匀拉伸变换是伸长（放大）变换。

设有时可将“区间[0，x]⊂相应数集（表相应数集内的0与x及两者之间一切数组成的集）”简写为：区间[0，x]。高等数学是研究变量的，[0，x]中的x可是变数。变域为R⁺的x≥0被限制只能在区间Q=[0，x>0]∪（x，1.001x]∪（1.001x，2x]∪...∪...的子区间[0，x>0]（x>0的变域为R⁺-{0}）内取值，将各[0，x>0]中的x都提取出来组成的集是R⁺-{0}。据区间概念在各[0，x>0]⊂Q之外还有用而不知的标准正实数1.001x>x>0等等（即在变域为R⁺的x≥0的取值范围之外还有标准正实数），这类各[0，x>0]之外的1.001x等等显然是>R⁺一切数x∈[0，x]的标准无穷大正数。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数t使初等数学出现违反区间概念的尖锐自相矛盾。人类由发现无理数到发现t竟须历时2500年！但获此发现所必需的知识仅是关于不等式、区间概念方面的中学常识，在区间概念面前百年“R完备、封闭”论不堪一击。可见区间概念凸显R中有太大正数x大到使其对应数y=1.001x>x等等>R⁺一切数x从而使射线R⁺={x≥0}⊂x轴均匀拉伸变为的射线B={y=1.001x≥0}是比R⁺长的射线。同样……。

2.“点集的'一变多’变换显然不是刚体运动”揭示中学“R（N）含一切标准实数(自然数)”是重大错误

射线R⁺={x≥0}⊂x轴均匀拉伸（拉长）变为射线B_k={y_k=kx（k=2,3,4）≥0}不≌R⁺从而更≠R⁺。E=R⁺∪B_k中的B_k（k=2,3,4）均≠R⁺且均非R⁺的真子集说明E≠R⁺。R⁺={x≥0}各元点x≥0 “一变多”地变为四个点：x+δ=y₁=x、y₂=2x、y₃=3x，y₄=4x生成点集E=｛y₁=x｝∪｛y₂=2x｝∪｛y₃｝∪｛y₄｝=R⁺∪｛y₂｝∪...中的各集均非R⁺的真子集，这变换等价于R⁺先拉伸变为新射线y_k=kx（k=2,3,4）≥0不≌R⁺，然后新射线与R⁺合并成E；这显然不是R⁺的刚体运动使E不≌R⁺，据h定理1E≠R⁺。包含R⁺的E≠R⁺说明E必有元点在R⁺外。其实“对数集R一个不漏的每一（一切）正数元x>0都有对应y=2x>x>0”明确表示有正数y>R一切正数x而在R外推翻百年“R完备、封闭”论。关键是连文盲都知...。非空U∪V中的V若=U或是U的真子集即V ⊆∪，则U∪V=U。E=R⁺∪射线B_k不≌E从而更≠E说明“E中各射线B_k（k=2,3,4）均⊂R⁺”不成立。

N各元x有对应标准自然数kx（k=2,3,4）。点集N=｛x=n｝⊂x轴可看成是虚射线：........（这不是省略号），N各元点x=n不保距平移变为自然数点x+δ=y₂=2x=2n生成B₂=｛y₂=2x=2n｝即N拉伸（伸长）变换为虚射线B₂，...。将上述“射线R⁺”用“虚射线N”替换就有：E=N∪｛y₂｝∪｛y₃｝∪｛y₄｝不≌N从而更≠N——表明包含N的E必有自然数元点在N外。

3.图A≌A及区间概念让5000年都无人能识的“更无理”自然数一下子浮出水面推翻百年集论——图说有似是而非的假N

自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数及其倒数，从而否定存在这类数，正如西医否定人体存在经络系统那样。有过人科学洞察力的伟大科学家莱布尼茨在其伟大科学实践中深深体会到:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的^[3]”。但对“同时存在”，莱布尼茨一直只有感性认识而未能有理性认识即未能从数、数量关系的高度上来证明…。

N各元n变为两个数：2n、2n+1生成N′={2n、2n+1}=｛2n｝∪｛2n+1｝。虚射线N⊂x轴各元点x=n不保距变为点x+δ=2n生成｛2n｝不≌N即图N拉伸变换成｛2n｝不≌N。N=｛n｝各点n“一变三”地变为3个点：n、2n、2n+1生成E={n、2n、2n+1}=｛n｝∪｛2n｝∪｛2n+1｝=N∪N′，这变换等价于图N先拉伸变换成｛2n｝不≌N以及拉伸、平移成｛2n+1｝不≌N，然后｛2n｝、｛2n+1｝与N合并成E。这显然不是N的刚体运动即不是保距变换使E不≌N，据h定理1E≠N。包含N的E=N∪N′≠N说明E中的N′必有元t′在N外，这N外自然数t′∈N′显然是>N一切数n的标准无穷大自然数使N′是N的真扩集。

人类认识自然数后的5000年里一直无人能识t′使初数及数学科普书一直断定：各标准自然数都不可与1相隔无穷多个自然数。5000年不识t′使中学数学一直将N外数误为N内数从而一直误以为N′=N，进而误以为～N的｛2n｝等是N的真子集。因R一切自然数组成N故N外数t′必不是R内自然数而在R外。

其实y=2n+1>n=0，1，2，...（数列N）一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数。所以初数几百年函数“常识”：N各元n的对应数2n+1均∈N是极幼稚的落后认识。“对N一个不漏的每一（一切）元n都有对应y=2n+1>n”明确表示有“更无理”自然数y>N一切元n，关键是连文盲都知...。

注：“点x变为还在管道g内的两个点：x、y=x”其实是点x变回自己的恒等变换；“N各数n（=偶数2p、奇数2p+1）变为两个数：n=2p、n=2p+1”其实是n变回自己；......。

变域为N的n被限制只能在区间Q=[0，n>0]∪（n，2n]∪（2n，2n+1]∪（2n+1，2n+2]∪...∪...的子区间[0，n>0]（n>0的变域为N⁺使N各元n均∈[0，n>0]）内取值，据区间概念在各区间[0，n>0]之外还有用而不知的标准正自然数2n>n等等是>N一切数n∈[0，n]的标准无穷大自然数使N={n}是N′={2n、2n+1}的真子集。

设F=｛（x，y=x）｝表F是元为有序数对的数对集,但F同时也可是以数为元的数集F=｛x、y=x｝=｛x｝；I=｛（x，y），（，y）｝表I是由有序数对和“单身”数y组成的集，将这种既有数对元又有单身数元的I称为混合集，但I同时也可是由一个个数组成的数集；相应有数对（对子）序列和混合序列，其余类推。

设可将某些序列中的逗号省略。本文将序列的首项编为第0号项。数列{a_n}各数a_n有序号数n与之配对而均在第n号位。x轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x），挖去x轴一个点x就留下一个“洞”（空心点）：“单身”的位置x。可用○表示“洞”即表示x轴上点的位置。项(元)为对子的对子序列（对子集）F={ⓞ①②... ⓝ…}（F中数列是N）中ⓝ表示n在第n号洞内而与该洞配对成F～N的第n个对子，“无穷旅馆”F中的“房间”○和数已一一配对。挖去F中一切数就留下一“房间”集{○○○...} ～N。设F中的○是圆圈套子，一○只能套住一数。F的ⓝ内n“一变二”地变为两个数：偶数2n和奇数2n+1时有一个数就要“溢”出使ⓝ裂变为2n（有○将2n套在○内）和2n+1两个项，从而使F变为混合序列M={ⓞ，1；②，3；④，5；…；...}（奇数2n+1都在○外）。显然M中数比○多，而○的移动不能使○有任何增加。M中有两类项：一为对子项，另一为“单身”项，一对子，例②中○前移改与其左边的单身数1配对成新的对子①，○的原“配偶”2就成新的单身在新对子①的后面，接着④中○改与其左边的2配对成新的对子②，○的原配偶4就成新的单身在新对子的后面；....。这说明M中的○与数之间无论怎样重新配对后都必保持有单身数使M不能变为没单身的对子序列。“一单身变为非单身的同时必拆散一对子而生一新单身的变换不能使单身有任何减少”这一逻辑学起码常识说明M中各数不动，各相应○保序前移改与其左边的单身奇数配对成新的对子得P={ⓞ，①；②，③；…；...}（假象：P中没单身数）中必有无穷多单身数在一切新对子的后面。所以“P=F={ⓞ①②... ⓝ…}”是肉眼直观错觉。因P一切对子ⓞ①...组成的对子序列=F，所以P中单身数必是N外数而...。不能想当然地简单认定P中没单身数，对“无穷”须特别小心谨慎、过细，否则就要犯将局部误为整体的错误，凡违反逻辑学起码常识的理论必是自相矛盾的理论。数学使人推断存在海王星，逻辑学起码常识使人推断P中必有无穷多单身数。可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多假N误为N。详论见[4][5]。目光太短浅的“肉眼”数学一直被“实无穷”中的假象迷惑而误以为P中没单身数。

可见“没标准无穷大自然数”这一中学“常识”其实是5000年不倒的极顽固错误碉堡，但在不等式起码常识“y>x中的y可>x的变域（x所有能取的数组成的集）内一切数x”面前，此碉堡不堪一击。

h定理2（真扩集定理）：若无穷集V可增元变为其真扩集W则V⊂W的元必少于W的元从而使V⊂W不可～W。

证：x与y=x可配对成数对（x，y=x）。V={x}=B={y=x}，A=V各元x与B=A=V各元y=x一一配对成一数对集F={（x，y=x）}。B=V={y=x}增元y′变为B=V的真扩集W={y=x、y′}= B（=V）∪{y′}。F增元y′变为有单身的混合集I=｛（x，y=x），（，y′）|所有x组成的集是A=V⊂W，所有y与y′组成的集是W｝，I中一单身y′（y与y′都只能与I中x配对）与一（x，y=x）中的x配对的同时必生一新单身y=x，单身的y=x变为非单身的同时必生一新单身…，因不可有“重婚”。“一单身变为非单身的同时必生一新单身不能使单身有任何减少”这一逻辑学起码常识说明I中：x与y、y′无论怎样重新配对后都必有y或y′只能是单身，而各x都可有配偶y或y′。原因显然是W={y=x、y′}=（B=V）∪{y′}的元y=x、y′多于V⊂W的元x。当V与W是二、三维空间点集时同样有……。证毕。

设“数集B=｛（x，y）｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V”表B各元均由x或y代表，B中一对数（x，y）是两个元。其余类推。数集N各偶数元x（=0，2，4，…）变为数对（x，y=x+1）得到的数集就是N=｛（x，y=x+1）｝=｛（0，1），（2，3），…，（x，y=x+1），…｝而由无穷多对数组成，挖去N中的0得数集N⁺={（，1），（2，3），（4，5）,...} 是由无穷多对又加一个数组成的集，其中只有1是“单身”数，其它数都有“配偶”。设N⁺中奇数只能与N⁺中偶数配对就使N⁺中单身的奇数1变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单身奇数，例（2，3）中2改与1配对，3就成新单身奇数。一单身变为非单身的同时必生一新单身的重新配对不能使N⁺中单身奇数有任何减少说明N⁺中各奇、偶数之间任意重新配对后都必保持有一单身奇数使N⁺不能变为由无穷多对数组成的集。所以N⁺中各奇数不动但各偶数2,4,...都移到其左邻括号内改与括号内奇数配对成新的数对得N⁺={（2，1），（4，3）,...，（，Ω）}必还是由无穷多对又加一个数组成的集而必有一单身奇数Ω在一切新数对的后面（否则就违反逻辑学起码常识了）；即N⁺各偶数x（=2，4，…）都改与奇数x-1∈N⁺配对成新数对，在所有新数对组成的{（2，1），（4，3）,（6,5），...}之外必还有奇数Ω。数学使人推断存在海王星，逻辑学起码常识使人推断N⁺中必有单身的Ω。显然Ω是N⁺中最大数而与0相隔无穷多个自然数。详论见[4][5]。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。肉眼不能看到N⁺的单身数≠其没单身数，人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[4][5]。

4.图A≌A凸显初等数学一直存在尖锐自相矛盾——数学X光机让3000年都无人能识的等长不等形直线段一下子浮出水面

用沙子和面粉及两个纸盒等制成两个外表一样的“砖头”，x光机下知沙子砖头与面粉砖头有不同的内部形状。数学图形须从里到外都形状相同才是形状相同的图形。中学生都懂的初等几何最最起码常识e：图A≌A。射线R⁺={x≥0}⊂x轴伸缩成射线G=｛y=x²≥0｝不≌R⁺。直线段μ=[0，1]⊂R⁺⊂x轴各元点x沿x轴负向不保距平移改变位置变为点x+δ=y=x²生成元为点y的线段λ（不≌μ）=[0，1]⊂射线G。这不保距变换使μ两端点平移的距离均=0，其它各点x向左不保距平移的距离均≠0 。“λ=μ≌μ”其实是肉眼直观错觉从而使初等数学存在尖锐自相矛盾：据常识e由λ不≌μ知λ≠μ，但据中学函数“起码常识”λ=μ≌μ。据≌图概念这等长且等势的λ与μ互不≌说明其大小相同形状（内部形状）不同。产生尖锐矛盾的原因不是几何常识e错了，而是初数一直将R外数误为R内数从而将两异区间误为同一区间。可见保距变换概念是数学“x光机”能透视到直线段的内部形状。对此，作者另有已在“预印本”上公布的长文专门论述。可见μ=[0，1]⊂R⁺与λ=[0，1]⊂G是3000年都无人能识的伪二重、伪≌直线段。没数学x光机时的数学没有透视点集内部形状的能力从而是“肉眼”阶段的低层次数学。

数集μ～λ，据真扩集定理～μ的λ不是μ的任何真子集。λ≠μ且也不⊂μ（数学一直认定λ不⊂μ）说明λ=｛y=x²｝不能被μ包含而必有元y=x²=t″在μ=[0，1]⊂R⁺外，这μ外t″显然是R外标准正数。2500年无人能识“更无理”数t″使初数一直将R外数t″误为R内数。μ⊂R⁺各元点x变为两个点：x、y=x²（点y=x²的全体是λ=｛y=x²｝≠μ）生成包含μ的J={x、y}=｛x｝∪｛y=x²｝=μ∪λ，这μ变为J的变换等价于μ先伸缩成λ不≌μ，然后λ与μ合并成J；这显然不是μ的刚体运动使J不≌μ，据h定理1 J≠μ。包含μ的J=μ∪λ≠μ说明J中的λ=｛y=x²｝必有元y=x²=t″在μ⊂R⁺外。

γ=（0，0.9]⊂μ，Q=（0，x²]∪（x²，x>x²]中的x>0且≤0.9只能遍取γ=（0，0.9]⊂μ一切数，将各（x²，x]中的x都提取出来组成的集是γ，据区间概念在各区间（x²，x>x²]之外还有用而不知的正数x²=t″∈（0，x²]，这t″显然是<γ⊂μ一切数x的标准正数。在未识0与负数时人们通过“对一切正数x都有对应x-1<x”就知有数x-1<一切正数x，同样“对数集γ=（0，0.9]⊂μ一个不漏的每一（一切）元x>0都有对应y=x²<x即对γ一切元x>0都有正数y比x小”明确表示有“更无理”正数y（是射线y=x²≥0的元点的坐标）<γ⊂μ一切数x（这正数y显然<R一切正数x），关键是连文盲都知...。这表明R中有“更无理”的太小正数x小到使其对应数x^k<x（常数k≥2）“更无理”地<R一切正数x。不识此类R外正数且将其误为R内数就使初数一直将伪重合直线段误为重合线段。显然当且仅当指数k=1时μ各元x与各对应y=x^k才能一一对应相等。可见中学几百年函数“常识”：“定义域为μ的y=x^k（正常数k≠1）的值域=μ”其实是肉眼直观错觉而将长度均为1的无穷多各互不≌的直线段误为同一线段。

存在t″说明R各元x的对应y=x²的全体｛y=x²≥0｝不是R的任何真子集。

5.结束语

不能用有理数精确表达正方形对角线的长说明有理数全体不够用，以上表明已知数全体不够用使数学不能用坐标法阐明存在等长却不等形从而不≌的直线段，误以为“够用”就使初数陷入自相矛盾的尴尬境地。“肉眼”数学因目光太短浅从而一直被“实无穷”中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。

参考文献

[1]M·克莱因著、李宏魁译。数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:194-195。

[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。

[3][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。

[4]黄小宁。几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016（3）：92。

[5]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。