压轴题打卡6：圆有关的函数与几何综合问题，综合性较强

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD＝1/2，抛物线y＝ax²＋bx＋c过A，B，C三点．

（1）求证：∠CAD＝∠CAB；

（2）①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题。

题干分析：

（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A＝O′C，则可证得∠CAD＝∠CAB；

（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC²＝OA·OB，又由tan∠CAO＝tan∠CAD＝1/2，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；

（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．

解题反思：

此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．