高中数学之异面直线的夹角求法

异面直线的夹角求法

1平移法

    平移法是最常用的方法,一般借助中位线、平行四边形进行平移，使异面直线平移至同一平面,在同一平面内的三角形中求角,故此类方法要注意中点\平行等已知条件.

如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．求直线BE与PA所成角的余弦值．

2补形法

补形法通常在原图形的基础上无法平移至同一平面求角,补形之后平面得到延展可用平移法求夹角的大小.

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是CD，CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角是________

解:在原正方体上面补一个相同的正文体,如图取棱的中点,连A1E则角MA1E即为所求角,连ME;         设棱长为1,则可求得三角形三边长度,可以求得夹角为90度.

3空间向量法

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是CD，CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角是________

4平面向量法

利用平面向量数量积求异面直线的夹角,先要将异面向量进行转化,使之能求数量积,即使向量间的夹角与模已知.

例:空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求证：求异面直线AN与CM所成角的余弦值．