31立体几何解法第四招：移花接木-平移法求求异面直线夹角

立体几何解法第四招：移花接木-平移法求求异面直线夹角

异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的。因此,通常求异面直线所成的角要通过平移直线,形成角,把异面问题转化为共面问题,然后在某个三角形或平行四边形中求出角来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键。

1.平移法求异面直线夹角的步骤:

选点→平移→定角→计算(异面直线所成角的范围为

)

2.

两种常见平移方法:

三角形:

利用中点构造三角形中位线,实现直线的平移,将异面直线转化为相交直线

平行四边形：

利用平行线的传递性,构造平行四边形,实现直线的平移,将异面直线转化为相交直线

(2018·天津文)如图,在四面体

中,

是等边三角形,平面

平面

,点

为棱

的中点,

,

,

.

(Ⅰ)求证:

;

(Ⅱ)求异面直线

与

所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线

与平面ABD所成角的正弦值.

【答案】见解析

【解析】(Ⅰ)证明:由平面

平面

,平面

平面

,

,可得

平面

,故

.

(Ⅱ)取棱

的中点

,连接

,

.又因为

为棱

的中点,故

.

所以

(或其补角)为异面直线

与

所成的角.

在

中,

,故

.因为

平面

,故

.

在

中,

,故

.

在等腰三角形

中,

,可得

.

所以,异面直线

与

所成角的余弦值为

.

(Ⅲ)连接

.因为

为等边三角形,

为边

的中点,故

,

.又因为平面

平面

,而

平面

,故

平面

.所以,

为直线

与平面

所成的角.

在

中,

.

在

中,

.

所以,直线

与平面

所成角的正弦值为

.

1.(2020届河南南阳一中开学考)在长方体

中,

,

,

,点

为长方形

对角线的交点,

为棱

的中点,则异面直线

与

所成的角为( )

A.

B.

C.

D.

2.如图,正方体

中,直线

与

所成角大小为__________.

3.(2020届全国大联考高三联考)已知三棱锥

,

,

是边长为

的正三角形,

,

分别是

、

的中点,

为棱

上一动点(点

除外),

,若异面直线

与

所成的角为

,且

,则

__________.