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第04讲 高等数学预备知识：参数方程与极坐标方程
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：当一个圆沿直线滚动时，圆周上的一个点所画出的轨线被称为一条圆滚线（又称摆线），若圆的半径为且沿轴滚动，以一点作为初始位置，求旋轮线的参数方程．
练习2：(1)将极坐标系中的点转换成直角坐标；
(2) 用极坐标表示直角坐标系中的点.
练习3 ：将下列直角坐标方程转换为极坐标方程，并写出极角的取值范围.
(1)；
(2)
练习4 ：将极坐标方程
转换为参数方程描述.
练习5 ：将曲线的参数方程
转换为直角坐标方程和极坐标方程描述。
练习6：写出椭圆的参数方程．
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：当一个圆沿直线滚动时，圆周上的一个点所画出的轨线被称为一条圆滚线（又称摆线），若圆的半径为且沿轴滚动，以一点作为初始位置，求旋轮线的参数方程．
【参考解答】 ：设在初始位置原点处，选择圆的旋转角度作为参数，其起始值为0．如下图所示.
假设圆已经旋转了角度，从图可以看出其离开初始位置的距离为
此时，圆心的坐标为. 设的坐标为，则由图的可知，
于是，圆滚线的参数方程为
练习2：(1)将极坐标系中的点转换成直角坐标；
(2) 用极坐标表示直角坐标系中的点.
【参考解答】 ：(1) 由直角坐标与极坐标之间的变换关系，得
故题中对应的点的直角坐标为.
(2) 由直角坐标与极坐标之间的变换关系，得
注意到直角坐标系中点位于第四象限,故在 的取值只能是．即直角坐标系中的点所对应的极坐标为或．
练习3 ：将下列直角坐标方程转换为极坐标方程，并写出极角的取值范围.
(1)；
(2)
【参考解答】 ：(1) 将, 代入方程，得极坐标方程：
由于必须大于或等于0，故，因此，的取值范围为
其图形为直线.
(2) 将, 代入方程，得极坐标方程
因此， 的取值范围为. 其图形曲线为双纽线．如下图.
练习4 ：将极坐标方程
转换为参数方程描述.
【参考解答】 ：直接取极角为参数，则极坐标方程对应的参数方程为
练习5 ：将曲线的参数方程
转换为直角坐标方程和极坐标方程描述。
【参考解答】 ：由两式消去参数，得直角坐标方程为
令 , ，得
练习6：写出椭圆的参数方程．
【参考解答】 ：【思路一】 令, ，则该椭圆的极坐标方程为
其参数方程为
【思路二】 将原方程改写为
令, ，则有
【思路三】 令，则
即曲线的参数方程为
【思路四】 令, ，则原方程转换为. 令, ，则得曲线的参数方程为
【注】描述曲线的参数方程不唯一.
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