2014初中全国数学竞赛题

题目：

    在△ABC中，BD平分∠ABC∠AC于点D，CE平分∠ACB∠AB于E，点P为DE中点，PQ⊥BC于Q，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，请给出PQ、PM、PN之间的等量关系式，并说明理由；

分析：

    角平分线2条，中点P一个，三条垂线PQ、PM和PN

    这种题目可能会给人一种凌乱的感觉，好像什么都没有，然后就要线段关系，所以只能从条件入手；

    首先有2条角平分线，那么可联想角平分线的性质，都知道是P到角两边距离相等，所以不妨先做出来辅助线，

如图，就不再叙述了，大家知道4条都是垂线即可，

那么，别忘了，题上的条件也有垂线存在，同垂直于一条直线不是可以平行吗？

所以可得PN//EG，PM//DK，EF//PQ//DH，

由于P是中点，根据中位线的判定，

可得PN是△DEG的中位线，PM是△EDK的中位线，而PQ则是梯形EFHD的中位线，

所以EG=2PN，DK=2PM，EF+DH=2PQ

由于EG=EF，DK=DH

所以2PN+2PM=2PQ

那么PN+PM=PQ；

    回过头来看一下，其实并不难，关键在于同学们是不是愿意根据条件往中位线的方向去思考。