一元二次方程根的判别式的应用

　一、求方程(组)的解及解的取值范围

　　例1若x²＋2x＋y²－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y(原初中代数第四册第207页3(2)题)

　　解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数．

　　∴Δ＝2²－4(y²－6y＋10)＝－4(y－3)²≥0．

　　即(y－3)²≤0，于是y＝3，进而得x＝－1．

　　例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)

例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z²＝xy－9，求x，y的值．

　　证明：∵x+y＝6，xy=z²+9则x，y是一元二次方程a²－6a＋z²＋9＝0的两个实数根，

　　则有Δ＝36－4(z²＋9)＝－4z²≥0，即z²≤0．

　　因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0，

　　故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3．

　　二、判断三角形形状

　　例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状．

三、求某些字母的值．

　　例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．

　　解：原式＝(x²＋8x＋7)(x²＋8x＋7＋8)＋k

　　＝(x²＋8x＋7)²＋8(x²＋8x＋7)＋k

　　令(x²＋8x＋7)²＋8(x²＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式，

　　Δ＝8²－4k＝0，即k＝16．

　　例6如果x²－y²＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．

　

例7 a为有理数，问：b为何值时，方程x²－4ax＋4x＋3a²－2a＋4b＝0的根是有理数．

　四、证明不等式

五、求函数的最大值最小值

　六、证明实数存在性问题

七、在平面几何中的应用