导数的应用---导数单调性、极值、最值的直接应用（1）

一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）

1、（切线）设函数

.

（1）当

时，求函数

在区间

上的最小值；

（2）当

时，曲线

在点

处的切线为

，

与x轴交于点

求证

：.

解：(1)

时，

，由

，解得

.

     

的变化情况如下表：

	0				1
		-	0	+
	0	↘	极小值	↗	0

所以当

时，

有最小值

.

(2)证明：曲线

在点

处的切线斜率

 曲线

在点P处的切线方程为

.

 令

，得

，∴

∵

，∴

，即

.

         又∵

，∴

         所以

.

2、（极值比较讨论）

已知函数

其中

,

⑴当

时，求曲线

处的切线的斜率；  

⑵当

时，求函数

的单调区间与极值.

解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴

⑵

以下分两种情况讨论：

①

＞

，则

＜

.当变化时，

的变化情况如下表：

	+	0	—	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

②

＜

，则

＞

，当x变化时，

的变化情况如下表：

	+	0	—	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

3、已知函数

⑴设两曲线

有公共点，且在公共点处的切线相同，若

，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；

⑵若

在(0,4)上为单调函数，求a的取值范围。

 

4、（最值，按区间端点讨论）

已知函数f(x)=lnx－

.

(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.

解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝

.

∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.

(2)由(1)可知：f ′(x)＝

，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝

，∴a＝－

 (舍去).

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，

∴f(x)min＝f(e)＝1－

=

，∴a＝－

(舍去).

③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.

当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；

当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝

⇒a＝－

.

综上可知：a＝－

.

5、（最值直接应用）已知函数

，其中

.

（Ⅰ）若

是

的极值点，求a的值；

（Ⅱ）求

的单调区间；

（Ⅲ）若

在

上的最大值是0，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）

.

依题意，令

，解得

. 经检验，

时，符合题意.                             

（Ⅱ）解：① 当

时，

.

故

的单调增区间是

；单调减区间是

.

② 当

时，令

，得

，或

.

当

时，

与

的情况如下：