2. “解析法”的再思考

摘自《解析几何高观点、新视野》

解析法是处理圆锥曲线的通法，我们既要探究代数方法处理基本问题的基本思路，也要思考解析化途径的研究、探索和选择，计算是难点，我们有三大套路：高等背景下探寻基本结论+解析几何的基本套路，重视焦半径公式和圆锥曲线第二定义（圆锥曲线中的基本量和产生椭圆的基本方式），解析几何性质——结论的整合和应用。

一、探究代数方法处理基本问题的基本思路

例 1.（教材习题）已知

 的顶点 A(5, 1) ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x-y-5=0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为x-2y-5=0 .求：

（1）顶点 C 的坐标；（2）直线 BC 的方程.

【小结 1】求点的两种方式：视为两直线的交点，联立方程；设出点的坐标，由点在直线上构建两个方程.

【小结 2】求直线的两种方式：有垂直、平行和夹角确定一点及斜率；有中点、平分找两点.

【点评】从基础题目中寻求处理基本问题的一般思路。

二、解析化途径的研究、探索和选择

【分析】（I）设出点 M 的坐标，得到点 P 坐标，进而得到点 N 坐标，从而得到直线 OH 的方程，求出 H 点纵坐标即可。（II）说明没有公共点，可以联立方程，通过  来判断；也可以说明抛物线在点 H 处的切线斜率等于 MH 的斜率。

【考试中心的试题说明】本题考查抛物线的概念和标准方程以及抛物线与直线的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力。本试题命制的出发点实际上是从抛物线外一点通过尺规作图的方法作抛物线切线的过程。试题第（I）问是个计算题。直线 l 是一条水平动直线，通过直线 l 与 y 轴以及与抛物线 C 的交点确定 N 点，由此确定 H 点。求出 N 点、H 点的坐标，解得

的值。试题第（II）问是个说明题，要求说明连接 MN 的直线就是抛物线的切线，得到的结论必须给出理由。试题突出考查了考生运用解析几何方法解决问题的能力，使考生体会到对于几何问题“解析化”的途径必须进行认真地研究、探索和选择。

【理解 1】此题为我们展示了如何尺规作图作抛物线的切线，从图形结构看，MO 与 MH 都是抛物线的切线，这就是切点弦三角形，即著名的“阿基米德三角形”。根据极点极线的知识，可以非常容易得到逆命题、推广到其它圆锥曲线。但学生最重要的还是要体会全国卷的考查思路，理解解析几何思想的精髓。

【理解 2】在解解析几何题目，学生常常是不用思考，上来就来“联立方程，韦达定理”，此题虽简单，却打破这个套路，需要学生研究和探索思路。

【理解 3】此题也可以选择设出直线 OH 的方程 y=kx ，联立直线 OH 和抛物线得到 H 点坐标，联立直线 OH 和直线 l 得到 N 点坐标，再利用 M,N 的中点在抛物线上找到 k , t 的关系，进而得到 H,N 纵坐标的关系。相比较之下，还是分析中的方法更简单，即对“解析化”的途径进行合理地选择，这也正是对数学运算这个核心素养的精彩体现。

三、高等背景下探寻基本结论+解析几何的基本套路

【点评】考试中心直接告诉我们：这个命题背景就是高等几何中极点极线的一个结论，对老师来说，理解射影几何，理解开普勒对圆锥曲线的统一性的认识，可以很容易探究出很多新的命题，解析几何题目常常就是对某个命题的具体化，但就针对高考而言，只需解析几何的基本套路即可。如果能借助极点极线等高等几何知识，探究出一些关于几何中重要元素的基本结论，这些结论往往还具有一致性，在解题之前，就知道答案，这也具有一定的价值。

四、重视焦半径公式和圆锥曲线第二定义

【考试中心说明】第（1）问考查考生对几何中的“变与不变”的认知和转化，充分考查考生的解析几何素养；第（2）问重点考查考生思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力。对考生的逻辑推理能力、运算求解能力有较高要求。若考生有较好的代数化简求值功底和划归与转化能力，求解时不会有复杂的计算。试题重基础、重能力，对引领数学课程改革能起到正确的导向作用。

【理解 1】从参考答案来看，2019 全国 2 卷第 21 题解析几何题目第（3）问对运算提出了非常高的要求，可以视为延续了此题对数学运算这个核心素养非常高的要求。

【理解 2】此题的解答过程实际上是推导了焦半径公式。焦点之于圆锥曲线如圆心之于圆，在开普勒看来，通过焦点的运动实现了圆和圆锥曲线的统一。所以围绕焦点，有很多结论，与焦点有关的弦长和面积等都是全国卷反复考查的内容，这些题目就是结论的具体化，或者综合其它一些知识，借助相关结论，直接秒杀或者把思维直接向前推进了一步。

五、解析几何性质——结论的整合和应用

【分析】推出直线 MN 过定点 T ，则 D 的轨迹是以 AT 为直径的圆，故到 AT 中点的距离为定值。