李海东：基于发展学生核心素养的初中数学教学 摘 要：对于数学核心素养，要从数学的教育价值和数学课程目标发展的角度去理解。在数学教学中发展学生的数学核心素养，要整体把握教学内容，挖掘其内在的育人价值，并把它们体现在教学的过程中，让学生经历数学对象的获得过程、数学对象的研究过程和数学知识的应用过程。 关键词：数学核心素养；初中数学教学；理解数学；经历过程 为落实党的十八大提出的“立德树人”的教育根本任务，教育部于2014年发布《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》的文件，提出要研究制订学生发展核心素养体系。自此，“核心素养”迅速成为基础教育界的热词。2016年9月，北师大核心素养研究课题组发布研究成果，基于文化基础、自主发展、社会参与三个方面，提出人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养和十八个具体指标。2017年12月，教育部发布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准（2017年版）》），提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个数学学科核心素养。学生发展核心素养与数学学科核心素养不仅指导高中课程标准、教材修订和实际教学，也是初中数学教学的指南。 对于核心素养与数学学科核心素养，当前也有许多研究和讨论。但作为数学教育的实践者，我们更关心数学教学该怎么做。可以说，把发展核心素养作为数学课程目标是一个新的理念，那么这个理念的核心是什么？与我们熟知的传统做法有什么联系和区别？在日常数学教学中应该如何体现？本文将从对数学学科核心素养的理解出发，结合初中数学教学的特点，谈一谈在初中数学教学中落实发展数学学科核心素养的思考。 一对数学学科核心素养的理解 1. 对学生发展核心素养的理解 作为教育目标的核心素养，最早是由世界经合组织（OECD）于1997年提出来的，后来联合国教科文组织、欧盟、美国等都开始重视对核心素养的研究，并将其作为21世纪教育的核心目标来表述。我国将学生发展核心素养定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，体现了新时代对于人才培养的要求，是党的教育方针的具体化、细化。 从发展的角度来看，我国传统教育的培养目标主要是“双基”，要求学生基础知识扎实、基本技能熟练；2001年开始的课程改革将目标发展成为三维，也就是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观；当前提出的核心素养则对三维目标进一步提炼和整合，将知识与技能、过程与方法提炼为关键能力，情感态度与价值观提炼为必备品格。可以说，从“双基”到三维目标再到核心素养，更加体现对培养对象——人的关注，体现从“教书”到“育人”的变化，体现我国教育目标的发展。 学生发展核心素养是一个多维度的概念，它指向学生的能力和品格，在内涵上包括知识、能力、情感态度与价值观等层面，是学生发展中最关键、最必要的素养，也是每一位学生获得成功生活、适应个人终身发展和社会发展都需要的、不可或缺的共同素养。学生发展核心素养的培养是一个持续终身的过程，它可以在学习和日常生活中得到培养和发展，反过来又帮助学生适应未来社会，促进其终身学习和成功生活，也有助于推动社会的健康发展。 2. 从数学的教育价值理解数学学科核心素养 作为基础教育一门重要的学科，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，具有高度的抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性等特点，这些特点也就决定了数学学习要会数学抽象、逻辑推理、数学建模。一般来说，思维有条理、语言有逻辑、善于抽象和概括、空间感强是反映在学习数学的人所具有的特征，这也就是《标准（2017年版）》所说的“会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”。“三会”是学生在数学学习中的行为表现，是数学学科核心素养内化于人的结果，也是数学育人体现在学生身上的主要特征。 数学学科核心素养中，数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析既相互独立、又相互交融，是一个有机的整体。其中，逻辑推理是人们在数学活动中最重要的思维品质，在形成人类的理性思维方面起着核心的作用。陈建功先生曾说：“片段的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之。但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科。”逻辑推理是数学素养的核心，培养学生的思维，特别是逻辑思维，使学生学会有逻辑地思考，是数学学科最独特的育人功能。 3. 从数学课程目标的发展理解数学学科核心素养 新中国成立以来，我国数学课程目标的主要发展节点如下： 1952年《中学数学教学大纲（草案）》提出“基础知识、技能技巧”； 1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》增加了“计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力”； 1986年《全日制中学数学教学大纲》对“双基”“三大能力”有了更准确的阐释，即“基础知识、基本技能”“运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力”； 2003年《普通高中数学课程标准（实验）》将“三大能力”发展为“五大能力”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力； 2011年《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“双基”发展为“四基”，增加“基本思想”和“基本活动经验”，“两能”发展为“四能”，在“分析和解决问题的能力”基础上增加“发现和提出问题的能力”，并提出10个核心概念； 2017年《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出“四基”“四能”“数学核心素养”。 综观上述课程目标的发展变化，可以看出，这些课程目标中，“双基”、数学能力、数学思想等是其中不变的主题，数学核心素养实际上是上述目标的继承和发展，是时代发展对数学教育提出的新要求。因此，数学核心素养的培养不是我们一线教学可望而不可及的空泛的理念。日常教学中，需要我们挖掘教学内容所蕴含的数学内在价值，并把它们落实到数学教学的各个环节，就是在落实“四基”、培养“四能”，也就是发展核心素养。 二整体把握教学内容，理解内容所反映的数学育人价值 数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言；数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。基于核心素养的数学教学，首先要深入理解、整体把握教学内容，从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体认识和把握教学内容，完整地体现数学的科学性、工具性、文化性和价值观念，使数学教学成为一个融知识、技能、方法、思想和价值观为一体的整体。 反观我们的数学教学，往往并没有教给学生完整的数学，更多的是“解题的数学”，甚至是“考试的数学”。教学内容往往更多的停留在知识技能层面，重视解题的技能技巧而忽视通性通法的概括，机械模仿多而独立思考少，数学的思维层次不高；重逻辑而轻思想，关注细枝末节多而体现核心思想少，涉及数学思想方法也往往是从解题的角度考虑。这也造成学生学习活动单一，主要是“知识 + 训练”，缺少“悟”的过程，缺少数学活动经验的体验。为教给学生完整的数学，针对每一个教学内容，我们都要认真思考它的教育价值。具体地，需要思考如下问题： ·这个教学内容的内涵是什么？它在教材中处于什么位置？与本节、本章其他内容有什么联系？ ·在数学发展史上，这个教学内容是如何产生的？它有什么作用？引入这一内容后，原有的知识可以做出什么新的解释？ ·这个教学内容蕴涵什么数学思想方法？学习这一内容可以培养学生什么数学能力？发展什么数学核心素养？ ·这个教学内容蕴含什么数学文化价值？对培养学生正确的价值观念能起到什么作用？ 例如，方程、函数是初中代数的核心内容。对于“式”的内容，我们往往将它作为学习方程、函数的预备知识，为方程、函数的学习做运算的储备。因此，在有关“式”的内容的教学中，特别重视运算。实际上，对于“数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程。在此过程中，“式”的内容起着承前启后的作用。通过代数运算（加法、乘法，以及它们的逆运算），“式”建立了数、表示数的字母这些量之间的代数关联，从而反映了某种数量关系，而方程是这些数量关系之间的等量关系的代数表达。因此，从这个意义上讲，对于整式、分式、二次根式等“式”的内容的教学，要重视列式表示数量关系，以列式问题为素材引入相关概念；并结合解决问题的需要，引入式的运算（例如，可以结合对所列式子的化简，引出合并同类项、去括号等整式的加减的内容）。这样，不仅为方程、函数的学习打下运算的基础，也打下表示数量关系的基础；不仅发展学生的运算素养，也发展他们的数学抽象素养。 再如，函数是初中数学的核心概念，要做好函数概念的教学，也需要教师对其有深入的理解。历史上，函数概念的发展经历了从变量说（17世纪，伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨等）、到对应说（18，19世纪，欧拉、狄利克雷、黎曼等）、再到关系说（20世纪，布尔巴基学派）的漫长发展历程。在初中，我们是这样定义函数概念的：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 分析这一概念可以发现，初中阶段的函数概念是描述变量之间的对应关系，其本质是变量之间的“单值对应”，它立足于变量说，但吸收了对应说的思想，可以称之为“变量—对应说”。进一步分析这个概念，可以发现它包含很多上位概念，如常量、变量，确定、唯一、对应等。也包含了多个层次，例如，函数描述的是一个变化过程；这一变化过程包含两个变量，要考查两个变量之间的关系；两个变量之间具有联系，一个量的变化引起另一个量的变化；对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应。要让学生理解函数概念，就要加强函数概念形成的教学，让学生经历上述对函数概念逐步深入认识的过程，逐步归纳概括出函数“单值对应”的本质，这也是发展学生抽象素养的过程。 对于函数，还应认识到它是描述客观事物变化（运动）规律的数学模型。例如，初中阶段学习的一次函数就是刻画匀速变化的，二次函数就是刻画匀变速变化的。基于此，函数概念的教学，需要从典型实例出发引出概念，让学生在头脑中形成丰富的函数例证，体现“函数模型”的思想，发展学生的数学建模素养。 三设计自然教学过程，发展学生数学学科核心素养入标题 数学知识是发展学生数学核心素养的载体，数学教学活动是发展学生数学核心素养的途径。在教学中，在深入理解教学内容的基础上，需要教师结合数学知识产生、发展、应用的逻辑线索，结合学生的认知特点，设计自然的教学过程，通过有意义、适度、恰时、恰点的问题，引导学生经历获得数学对象、研究数学对象、应用数学对象的过程。在此过程中，加强研究方法的引导，使学生不仅“知其然”，“知其所以然”，还要知道“何由以知其所以然”，在掌握具体的知识、技能的同时，学会如何发现和提出问题，如何分析和解决问题，从而发展数学核心素养。 1. 重视数学对象的获得过程，发展数学抽象、直观想象素养 数学源于对现实世界的抽象，数学研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，数学对象的获得过程蕴含着丰富的数学抽象、直观想象的核心素养。在教学中，教师要重视概念教学，重视数学研究对象的获得过程。要重视数学与现实的联系，也要重视数学内在的逻辑关系，从现实情境、数学情境、其他学科情境等问题情境出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，使学生学会数学地认识问题，学会用数学的眼光观察世界，从而发展数学抽象、直观想象的素养。 例如，前面的分析中，“单值对应”是初中函数概念的核心，为使学生理解函数概念，就需要重视函数概念的形成过程。从典型丰富的、反映这一本质特征的运动变化现象的具体例证出发，让学生分析、比较、综合这些例证的共同特征，进而概括出其“单值对应”的本质特征，进而得到函数概念。这个过程就是用数学的眼光观察这些运动变化现象的过程，也是发展学生数学抽象素养的过程。 结合前文对函数概念的分析，对于函数概念的教学，可以设计如下的过程。 首先，列举出一些具有函数关系的运动变化的实例。（注意：这些实例要有多元联系表示，即不仅有能列出解析式表达函数关系的，也要有通过表格、图象反应函数关系的。） 接下来，从“感性具体”到“理性具体”，对每一个实例进行分析，找到其中的“单值对应”，并用数学的方式表征这种“单值对应”。具体地，教师可以向学生提出以下问题： ·每一个实例都反映了一个变化过程吗？这一过程中所包含的量分别有哪些？ ·这些量哪些是常量，哪些是变量？变量之间有什么联系？哪个量的变化决定了另一个量的变化？ ·对于引起变化的量（自变量）的每一个值，另一个量如何变化？（对应什么值？这个值是确定的吗？有几个？） ·能用数学的方式表示变量之间的这种对应关系吗？（解析式、图象、表格等。） 然后，从“理性具体”到“理性一般”，对上述实例反映的对应关系进行比较、综合，概括其共同的本质属性，进而给出函数的定义。具体地，教师可以向学生提出以下问题： ·从整体上再来看上述问题，抛开这些问题的实际背景，这些实例所反映的变量之间的对应关系有什么共同特征？（可进一步追问：对于自变量的每一个值，因变量的值确定吗？是唯一的吗？） ·能用数学的语言表达上述问题的共同特征吗？ ·给出函数的定义。 最后，在给出函数概念后，对函数概念进行辨析，再次强调其“单值对应”的本质特征；通过对一些实例进行判断，巩固函数概念。具体地，教师可以向学生提出以下问题： ·函数概念中的“唯一确定的值与其对应”是什么意思？你能举例进行说明吗？ ·教师给出“一对多”的实例，让学生判断其是否为函数，进一步辨析函数概念。 ·教师给出一些实例，让学生判断其是否为函数，也可以让学生自己举出一些函数的实例，巩固应用概念。 2. 重视数学对象的研究过程，发展逻辑推理、数学运算的素养 数学概念获得后，接下来就是要对其进行研究，这是一个由数学概念得到数学性质的过程。在这一过程中，要从数学知识的发生、发展过程和学生的认知规律出发，重视研究方法的引导，重视从“一般观念”出发构建对数学对象研究的思路，让学生经历“观察想象—实验探索—概括猜想—推理论证”的过程，从而发现规律、获得猜想、证明结论。这一过程也就是“用数学的思维思考世界”的过程，也是发展学生逻辑推理、数学运算素养的过程。 例如，函数概念建立之后，接下来就是研究函数的性质。那么，从“一般观念”上讲，什么是函数的性质？如何研究函数的性质？有没有研究函数性质的一般思路和方法？ 函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型，函数的性质就是这些运动变化过程中的不变性和规律。例如，研究现实世界中客观事物的运动变化会随着时间的变化有增有减，有时最大有时最小，这些规律反映到函数中，就是函数的增减性、最大（小）值。 对于函数性质的研究，有如下的“一般观念”的思路和方法。 （1）从特殊到一般，归纳研究函数的性质。对于函数性质的研究，往往从具体的函数入手，通过对典型的、具体的函数性质的研究，归纳得到一般函数的性质。实际上，这种归纳的方法也是初中学习代数内容的基本方法。 （2）利用图象研究性质。在研究函数性质的过程中，往往需要先画出函数图象，经历利用图象研究性质的“三步曲”，即观察图象，描述图象的变化规律；结合图象，用自然语言描述变化规律；用数学语言描述变化规律。 需要指出的是，“利用图象研究性质”不是“由图象推导出性质”。实际上，函数的性质是其本身的固有属性，不是由它的图象决定的。因此，在“利用图象研究性质”时，要适时地“回到解析式”，从解析式上解释函数的增减性、最大（小）值等，使学生对函数的性质能有更本质的认识。 再如，几何图形是“图形与几何”的研究对象，几何图形的性质也是“图形与几何”的核心内容。那么，从“一般观念”上讲，什么是几何图形的性质？如何研究几何图形的性质？有没有研究几何图形性质的一般思路和方法？ 几何图形的性质就是几何图形的组成要素之间的关系，这里的组成要素包括基本要素和相关元素。例如，三角形的三条边、三个角就是它的基本要素，而角平分线、中线、外角等则是它的相关元素。这里的关系包括位置关系和数量关系，位置关系主要包括相交、平行、垂直等；数量关系主要是相等、倍分等。这些就是研究图形性质的主要内容，也是我们发现几何图形性质的出发点。 利用几何直观发现结论，再通过推理论证证明结论是研究几何图形性质的主要方法。利用几何直观的引导，再加上前述的研究图形性质和判定的思考方向，使得我们往往在讨论初期便能得知结论的梗概，而几何直观往往又能带领我们逐步迈向所需的结论，最后的推理证明使我们确认结论的真伪。另外，图形的性质与判定往往具有互逆的关系，这也给我们提供了一种从图形的性质（判定）到图形的判定（性质）的研究方法。 基于以上分析，我们可以这样研究平行四边形的性质和判定： ·我们知道，图形的性质是指图形的组成要素之间的位置关系和数量关系，对于任意一个平行四边形，它的组成要素是什么？它们之间具有什么位置关系和数量关系？（直观想象发现性质。） ·通过观察和度量，我们已经发现平行四边形的对边相等、对角相等，如何证明它们？我们学过哪些证明边相等和角相等的方法？（推理论证证明性质。） ·在证明平行四边形的对边相等、对角相等时，我们通过连接它的一条对角线，把平行四边形转化成了两个全等的三角形。实际上，对角线也是平行四边形的一个组成要素，那么平行四边形的对角线有什么性质呢？我们怎么研究对角线的性质？（由基本要素到相关元素。） ·把平行四边形的两条对角线都连接起来，仍然从它们的位置关系和数量关系的角度观察，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？（发现、证明对角线的性质。） ·通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？你能通过证明它们得到平行四边形的判定方法吗？（利用判定和性质的互逆关系。） 3. 重视数学知识的应用过程，发展数学建模、数据分析的素养 学习了数学概念，认识了其性质及概念间的联系，接下来就是应用这些概念、性质和联系解决问题。这一过程就是运用数学原理对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达数学问题，用数学方法构建模型解决问题的过程；就是针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、描述和分析，进而获得推断的过程。也就是用数学语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养的过程。 初中数学教学中，数学概念、性质的应用贯穿始终，包括建立方程、函数模型解决实际问题，利用几何图形的性质解决实际问题，利用数据分析对事物进行推断等。特别地，“综合与实践”是培养学生的模型思想、应用意识和创新意识的很好的载体，通过解决具体问题的综合与实践，学生亲身经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，积累数学活动经验，培养发现和提出问题、分析和解决问题的能力。 对于“综合与实践”的教学，以“选择方案”问题为例进行说明。 选取哪种方式能节省上网费？ “选择方案”问题是应用函数模型的常见问题，问题的解决能比较好的让学生经历“分析实际情境—建立数学模型—解决数学问题—回到实际问题”的建立数学模型解决实际问题的全过程。解决这类问题的关键是用函数表示问题中的数量关系和变化规律，将“选择方案”问题的“费用比较”转化为“函数值比较”。具体地，可以设计如下过程。 首先，明确研究的问题和解决问题的方向。 ·你了解问题的表格的含义吗？ ·如果每月的上网时间为20小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？如果每月的上网时间为150小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？由此，你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为什么？ ·这个问题要我们做什么？选择方案的依据是什么？ 接下来，分析问题，寻找解决问题的思路，将实际问题转化为数学问题。 ·要比较三种收费方式的费用，需要做什么？（明确费用的构成。） ·方式C的费用确定吗？方式A，B呢？影响费用的因素是什么？进一步地，方式A，B的费用与上网时间t有什么关系？ ·怎样比较三种收费方式的费用？（用函数表示费用，将“费用比较”转化为“函数值比较”。） ·请把原来的问题转化为函数问题。（选取自变量，用函数解析式表达三种费用的关系。） 然后，求解模型，得到数学问题的解答。 ·如何比较三个函数的函数值？ ·画出三个函数的图象，你能得到在不同的时间范围内函数值的大小吗？ ·请用数学语言表达三个函数的函数值比较的结果。 最后，通过对数学结果的解释讨论实际问题。 ·请你解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否。 进一步，回顾解决问题的过程，体会模型思想。 ·在解决“选择上网收费方式”问题的过程中，经历了哪些步骤？ ·建立函数模型时经历了哪些步骤？哪个步骤最关键？ ·你还有哪些收获？（明确起点和目标，从特殊到一般，分段函数特征，数形结合。） 四写在最后 数学是自然的。数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。数学中每一个概念，它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，实际上是水到渠成、浑然天成的产物。实际上，数学中的概念、原理、法则、公式、性质等，都有其内在的必然逻辑性。在教学中，为了发展学生的数学学科核心素养，需要我们整体把握教学内容，明晰其育人价值；以数学知识发生、发展过程的内在逻辑为基础，考虑学生的认知规律；加强研究方法的引导，提好教学问题。使学生不仅学会具体的数学知识和技能，还能领悟其蕴涵的数学思想方法、积累数学活动经验，更能学会如何发现和提出问题，如何分析和解决问题的思路。这样，数学的育人目标才能更好地实现。 参考文献： ［1］核心素养研究课题组. 中国学生发展核心素养［J］. 中国教育学刊，2016（10）：1-3. ［2］中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018. ［3］陈建功. 二十世纪的数学教育［J］. 中国数学杂志，1952，1（2）：1-21. ［4］课程教材研究所. 20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷［M］. 北京：人民教育出版社，2001. ［5］傅种孙. 高中平面几何教科书［M］. 北京：算学从刻社，1933. ［6］人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书·数学必修1［M］. 北京：人民教育出版社，2004.
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