导言：在第4.4节和第4.5节的讨论中，我们指出特解法有两个固有弱点，限制了它在线性方程中的广泛应用：微分方程必须具有恒定系数，输入函数必须属于表4中列出的类型。在本节中，我们将研究一种用于确定非齐次线性微分方程的特解的方法，从理论上讲，它没有这些限制。这种方法是由卓越的天文学家和数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（1736-1813）提出的，被称为常数变易法（参数变换法）。
在研究这个求解高阶方程的强大方法之前，我们重新考虑了已经化为标准形式的线性一阶微分方程的解法。
在第2.3节中，我们看到线性一阶微分方程的一般解可以通过首先将其重写为标准形式
并假设和在一个共同的区间上连续来找到。使用积分因子法，方程（1）在区间上的一般解被找到为
前述的解具有与定理4.1.6中给出的相同形式，即。在这种情况下，是相关齐次方程的解
而
是非齐次方程(1)的一个特解。为了激发解决高阶非齐次线性方程的方法，我们建议通过一种称为常数变易法(参数变换法)的方法重新导出特解(3)。
假设是齐次方程(2)的已知解，即
可以轻松地证明是(4)的解，由于方程是线性的，是其一般解。常数变易法(参数变换法)包括寻找(1)的特解，形式为。换句话说，我们用函数替换了参数。 将代入(1)，使用乘积法则得到
因此
通过分离变量并积分，我们可以找到的表达式：
因此，所求的特解是
由于，我们可以看到最后的结果与(3)是相同的。
接下来，我们考虑线性二阶微分方程的情况
尽管如我们将看到的，常数变易法(参数变换法)可以扩展到更高阶的方程。该方法再次从将(5)置于标准形式开始
通过除以主导系数。在(6)中，我们假设系数函数和在某个共同的区间上连续。正如我们在第4.3节已经看到的那样，在系数为常数时，当系数为常数时，可以轻松获得相关齐次方程的补充解，这是(6)的相关齐次方程的一般解。类似于前面的讨论，我们现在提出一个问题：是否可以将中的参数和替换为函数和，或者称为“可变参数”，以便
是(6)的特解？为了回答这个问题，我们将(7)代入(6)。使用乘积法则对进行两次微分，我们得到：
将(7)和前面的导数代入(6)并分组，得到以下表达式：
因为我们要确定两个未知函数和，所以需要两个方程来解决这个问题。我们可以通过进一步假设函数和满足来获得这些方程。这个假设不是凭空提出的，而是受到(8)中的前两项的启发，因为如果我们要求，那么(8)就简化为。我们现在有了我们需要的两个方程，尽管这两个方程是用来确定导数和的。根据克莱默法则，系统的解
可以用行列式表示为：
其中
函数和可以通过对(9)中的结果进行积分来找到。行列式被识别为和的朗斯基行列式。由于在区间上和线性无关，我们知道对于区间上的每个都有。
通常，记住公式而不是理解过程是不明智的。但是，上述过程太长且复杂，无法每次都使用。在这种情况下，更高效的方法是直接使用(9)中的公式。因此，要解，首先找到补充函数，然后计算朗斯基行列式。通过除以，我们将方程转化为标准形式，以确定。我们通过积分(9)中的和来找到和。特解为。然后方程的通解是.
解方程
解决方案： 从辅助方程 可以得出 。使用 和 ，接下来计算朗斯基行列式：
由于给定的微分方程已经处于形式 (6)（即 的系数为1），我们将 。从 (10) 中我们得到
所以根据 (9) 我们有
对上述导数积分得到
因此，根据 (7) 我们有
和
翻译：
解方程
解决方案： 首先将方程除以4，将其变换为标准形式 (6)：
由于辅助方程 的根为 和 ，补充函数为 。使用 ，以及 ，我们得到
对于 和 进行积分，得到
因此，根据 (7)，一个特解为
方程的一般解为
方程 (11) 表示了在区间 上的微分方程的一般解。
积分常数： 在计算 和 的不定积分时，我们无需引入任何常数。这是因为
积分定义函数： 我们已经在前面的章节中多次看到，当解决方法涉及积分时，可能会遇到非初等积分。正如下一个示例所示，有时在构建线性二阶微分方程的特解（7）时，我们所能做的最好的办法是使用积分定义的函数：
在这里，我们假设被积函数在区间 上连续。
翻译：
解方程
解决方案： 辅助方程 得到 和 。因此，。现在，，并且
由于上述积分是非初等的，我们不得不写成
因此
在示例3中，我们可以在不包含原点的任何区间 上进行积分。我们将用4.8节中的另一种方法来解例3中的方程。
高阶方程：
我们刚刚讨论的方法可以推广到具有标准形式的线性 阶方程，该方程为
如果 是方程（11）的余函数，那么特解为
其中 由 个方程确定：
这个系统中的前 个方程，类似于（8）中的 ，是为了简化将 替换到（11）后得到的方程。在这种情况下，克莱默法则给出
其中 是 的朗斯基行列式， 是通过将朗斯基行列式的第 列替换为（12）的右侧列而获得的行列式，即由 组成的列。当 时，我们得到（9）。当 时，特解为 ，其中 构成了相关齐次微分方程的线性无关解， 由以下方程确定：
备注：
(i) 常数变易法与待定系数法相比，具有明显的优势，因为只要可以解出相关的齐次方程，它总是能够得到特解 。当前的方法不限于函数 是前面列出的四种类型的组合。正如我们将在下一节看到的，与待定系数法不同，常数变易法适用于具有可变系数的线性微分方程。
(ii) 在接下来的问题中，不要犹豫地简化 的形式。根据如何找到 和 的反导数，您可能不会得到与答案部分中给出的相同的 。例如，在练习4.6的问题3中， 和 都是有效的答案。在任何一种情况下，通解 简化为 。为什么呢？
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