【2021广东中考24】【梯形中位线定理】【切线的判定】【特殊多边形】【等积变换】

广东卷

2021中考数学

试题内容

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF．
(1)求证：CF⊥FB；
(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；
(3)若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．

解法分析(1)

顶角互补→底角互余

设∠A=α，∠D=β，
1.根据平行线的性质可得：
α+β=180°，
2.在等腰三角形ABF和等腰三角形DCF中，
∠1=，∠2=，
所以∠1+∠2==90°，
所以∠BFC=180°-(∠1+∠2)=90°，即CF⊥FB.

解法分析(2)

方法1：作垂直，证半径
梯形中位线定理(需证明)

取AD的中点O，作OG⊥BC于点G，
1.证明AB∥OG∥CD，
2.根据平行线分线段成比例证明：点G是BC的中点，
3.按照“梯形中位线定理”的证明思路(点击查看)，
可证：OG=，
所以：OG===OA，
即OG是圆O的半径，
进而证明：以AD为直径的圆与BC相切.

方法2：证垂直，证半径
直角三角形的性质

取AD的中点O，作OG∥AB，交BC于点G，连接AG、DG，FG，
1.证明AB∥OG∥CD，OG⊥BC，
2.根据平行线分线段成比例证明：点G是BC的中点，
3.在Rt△BFC中，FG=BG=CG，
4.因为CD=DF，FG=CG，
根据线段垂直平分线的判定得：
GD垂直平分CF，
同理可证：GA垂直平分BF，
进而证明：∠AGD=90°，
5.根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得：
点G在以AD为直径的圆上，
即OG是圆O的半径，
进而证明：以AD为直径的圆与BC相切.

解法分析(3)

特殊三角形(如左图)

1.图中的特殊三角形：
△CDF是等边三角形，
△CEF是含30°的直角三角形，
△BEF是含30°的直角三角形.
2.在△CEF中，
CE=EF·tan60°=2，
在△BEF中，
BE=EF·tan30°=，
所以：BC=；

平行线间的等积变换(如右图)

因为：S=S，S=S，
所以：S=S
==.

END

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