【数学思维能力训练第30期】【2022四川南充25(2)改编】【等积变换】【函数模型求最值】【初高中衔接】【一题多解】

四川卷

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解法分享
孔祥瑞   王梓萱

1试题内容

抛物线=--4与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，当△BCP的面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求此时△BCP的面积.

2解法分析

易求得：
点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,4)，
直线BC的解析式为：=-4.

平行线间的等积变换

直线与直线关于直线BC对称.
(直线在直线BC下方)
当直线与抛物线相切时，
符合条件的点P有且只有三个.

方法1：数形结合
设直线的解析式为：=+，
联立直线和抛物线的解析式，得：
+=--4，
化为一般式：
-4-12-3=0，
由△=0，得：=-，
解方程①得：=2，
∴点P的坐标为(2,-).
根据割补法求得：
此时△BCP的面积为.

方法2：函数模型求最值
若点P是第四象限内抛物线上一点，
当直线与抛物线相切时，
△BCP的面积最大.

过点P作轴的垂线，交BC于点Q，
设点P的坐标为(,--4)，
则点Q的坐标为(,-4)，
∴S=(-)(-)
=-+=-(-2)+，
∴S的最大值为，
∴此时△BCP的面积为.

方法3：点到直线的距离
若点P是第四象限内抛物线上一点，
当直线与抛物线相切时，
点P到直线BC的距离最大.

设点P的坐标为(,--4)，
作PQ⊥BC于点Q，则：
PQ=
=-(-2)+，
∴PQ=，
∴S=BC×PQ=，
∴此时△BCP的面积为.

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