【数学思考】一道题目多种解法引发的思考！

2019.12.28

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这是刘老师的数学日记推送的第387篇文章

最近，一直在学习组合图形面积的问题，学生对于将组合图形通过割补转化成基本图形（三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形）的思路还是清楚的。

由于现在认识的基本图形越多，知道更多平面图形面积计算公式，所以组合图形面积求解的方法也会更加多样。这恰恰为提升学生的思维能力提供一个好机会，于是我鼓励孩子可以通过不同的割补方法求出阴影部分的面积。

如果你不提供一个机会给孩子思考，你永远不知道孩子们有多棒；如果你不“逼”着孩子再去动动脑筋，他们自己都不知道自己有多棒。当他们自己深入思考，沉浸在图形之间转化，并发出这样的声音：“哇，原来可以这样”、“我又想到一种”、“原来是这样”、“终于被我搞定了”……

于是，课堂内的情绪被点燃，并且一直延续到课外。有的同学甚至自己琢磨了很多方法。为了让大家的方法有个集中展示的地方，就让孩子们把想到的方法都贴在班级墙面上。于是就有这么多不同的思考方法。

有的孩子两种策略，有的孩子三种想法……

接下来我们就看看孩子们的思路吧！

1.

不同的方法思路

这位同学的思路具有代表性；不少同学都把它补成一个长方形，用学生的话说：这样看起来会更“顺眼”。再用长方形剪去正方形和两个三角形的面积就是阴影部分的面积。

这位同学的方法一把总面积看成是两个正方形的面积之和，然后减去两个空白三角形即可。

这位同学不看上面的空白三角形；这样总面积就是一个大三角形和一个小正方形面积；再减去下面一个直角三角形就得出最终的阴影部分面积。

这位同学补完长方形后发现可以用梯形的面积减去一个长方形和一个三角形即可。

这位同学提供的方法二是补了一条“辅助线”，把图形看成一个梯形和一个三角形；然后再减去两个三角形的面积。

上面的四种方法其实都可以看成总的面积减去空白面积，剩下的是阴影部分的面积。

上面这位同学的方法一则是“割”的方法；这是一个不同的思路，用的学生并不多。原因在于割完之后的三角形底和高具有一定的“隐蔽性”，需要对图形的整体感知。

她将阴影部分割成两个钝角三角形，两个已知底的高都是“外高”。

这位同学的方法二是利用将正方形的对角线连起来，变成一个梯形。于是前面介绍的“蝴蝶模型”这位同学就用到了。梯形的两个“翅膀”面积相等，于是阴影部分的面积就是大三角形的面积（32平方厘米）减去右上角那个三角形（8平方厘米），结果也是24平方厘米。

由于这题的数据特征，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，于是这样横着割开也可以。像这位同学一样分成S1和S2两部分。S1的底为4高为4；S2的底为（4+4=8）高为4；于是面积之和是24平方厘米。

……

其实，上面的方法分分类，就是割或补的方法。但由于图形特征和数据特征的不同，会导致学生用不同的方法。

2.

相同的思路解题

在这个图形的基础上，学生设计了很多两个正方形连接在一起的新的阴影部分题目。于是我把两位孩子一起设计的一个图形再次提供给学生进行解答，于是有这样的思考。

这个题目和上面的题目比较类似，孩子们有了经验，能够清楚知道解决问题的策略，用转化的方法解决问题。这个孩子就看出梯形解决问题。

补成长方形的思路上面的那个题目给了很好的启示。

这位同学就用了割的方法，割为三个三角形。并正确找到这三个三角形对应的底和高，从而求出面积。

在一道题目中思考的方法分类、对比、归纳后，可以用于其它题目。另外，给孩子更多的空间去观察、思考、尝试，甚至是等待；也许他们的思维会更加发散，在寻找其它方法中去感受转化的思想，在绞尽脑汁中去体会成功的乐趣。

思考是一道光，

如此美妙，

指引我们想到达的地方！