高二数学选修2-2知识要点

第一章 导数及其应用

一、导数概念的引入

（1）导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数

在

处的瞬时变化率是

，

我们称它为函数

在

处的导数，记作

或

，即

=

例1．       在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

       运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？

       解：根据定义

           即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

（2）导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点

趋近于

时，直线

与曲线相切。容易知道，割线

的斜率是

，当点

趋近于

时，函数

在

处的导数就是切线PT的斜率k，即

（3）导函数：当x变化时，

便是x的一个函数，我们称它为

的导函数. 

的导函数有时也记作

,即

二.导数的计算

1.函数

的导数

2.函数

的导数

3.函数

的导数

4.函数

的导数

基本初等函数的导数公式:

1若

(c为常数)，则

；

2 若

,则

;

3 若

,则

4 若

,则

;

5 若

,则

6 若

,则

7 若

,则

8 若

,则

导数的运算法则

1. 

2. 

3. 

复合函数求导

和

,称则

可以表示成为

的函数,即

为一个复合函数

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

  一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间

内，如果

，那么函数

在这个区间单调递增；

如果

，那么函数

在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数

的极值的方法是:

a)       如果在

附近的左侧

,右侧

,那么

是极大值;

b)      如果在

附近的左侧

,右侧

,那么

是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数

在

上的最大值与最小值的步骤

第四章   求函数

在

内的极值；

第五章   将函数

的各极值与端点处的函数值

，

比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题