一般微分几何：积分

概要：我们可以把积分的概念推广到流形上；对于定向流形我们可以对体积积分，对于一般流形我们需要定义密度准形式。

目录：

• 定向流形的积分

• 体积形式

• 向量空间的定向

• 定向流形

• 体积形式的积分

• 一般流形的积分

• 密度

• 密度场的积分

• 体积形式与密度场

• 附录

• 作者的话

注：在往下阅读之前，你需要知道什么是-形式，可以参考《微分形式》。

定向流形的积分

体积形式

对于维流形，我们把-形式称为体积形式（volume form）【注】，或者顶维度形式（top-dimensional form）。

【注】：有些作者会要求体积形式是无处为零的（nowhere vanished）。

顶维度形式好理解，体积形式又是什么意思呢？

考虑局部的体积形式，我们有【注】

这意味着我们能找到一个双射

【注】：可以从上篇文章中推理出，下次更新我会把它明确写出来。

注：下文需要“一点点”实分析的知识，可参考的文章很多，比如的“与Celeio同行”的这篇文章。

 

更进一步的，的光滑函数实际上定义了的一个“（符号）测度”：

（其中是Lebesgue（勒贝格）测度，是Lebesgue可测集）

我们知道测度就是最一般的体积，因此我觉得体积形式也可以称为（光滑）测度形式。

当然，这个测度并不是良定义的，完全有可能会同时出现和的情况。在这里我们仿照实分析中的解决方法。

情况一：

实分析中我们会考虑Lebesgue可积函数，它对应的测度是有限的，即。

假如是紧支集的，记做，那么存在紧子集使得

它对应的测度是良定义的。

情况二：

实分析中我们还会考虑另一种情况，即非负函数（非正函数亦同）的积分，此时我们允许积分的结果是，即。

如果一个体积形式无处为零，那么也无处为零，因此是全正的（或者全负的），它的测度也是良定义的。

向量空间的定向

注：定向，orientation。

从体积形式到实函数的映射并没有那么显然，实际上我们默认选定了一组上的一组有序基，即标准基，

此时我们有；

如果我们考虑另一组基

我们就有

即。

特别的，到的基变换矩阵是

它的行列式（determinant）是。

更一般的，我们可以证明

这是因为我们有

而它来自于算子的行列式的定义，即

的“值”，其中。

进一步的，微积分的知识告诉我们，如果 0' data-formula-type='inline-equation'>，

而如果< 0'="" data-formula-type='inline-equation'>，

（作为一个基变换矩阵，行列式不可能为零。）

因此我们可以简单的把的基分为两类：与标准基同定向的和反定向的（anti）。它们分别定义了的标准定向和反标准定向。

定向流形

对于流形的一个坐标卡，考虑的标准定向，坐标映射定义了任意点处的切空间上一个定向；如果两个坐标卡，在上定义了相同的定向，那么我们就称两个坐标卡定向兼容，或者同定向。

直接用定义来判定两坐标卡是否兼容比较麻烦，因此我们可以使用下述等价定义：

对任意点，满足

其中是转移映射（transition map）。

证明并不困难。

另一方面，由于转移映射是光滑同构，Jacobian矩阵的行列式不会有零点，因此的每个连通部分的正负都是相同的。

如果流形存在一个定向卡册，即其中任意两坐标卡都是同定向的，那么我们就称该流形是可定向的（orientable）；我们把可定向流形和它的一个定向卡册合起来，即，称为定向流形（oriented）。

注：定向的概念可以推广到拓扑流形上，甚至是CW复形等更一般的拓扑空间上，不过这就不是微分几何的话题了。

我们也可以用无处为零的体积形式来定义定向：

假如流形存在一个无处为零的体积形式，那么对任意的坐标卡，我们可以把拉回到上，即；如果定义了上的正测度，我们就标记它为定向坐标卡。

因此，无处为零的体积形式定义了一个定向，换言之，存在无处为零的体积形式意味着流形是可定向的。

接下来我要证明它的逆命题：如果流形是可定向的，那么一定存在无处为零的体积形式。我们可以使用单元分割（partition of unity，参考《坐标与流形》）来找到它：

考虑定向流形的一个定向卡册，我们能找到它的一个光滑单元分割；

取的标准定向的无处为零的体积形式，我们可以把它拉回【注】得到，而（数乘）就是我们想要的上的无处为零的体积形式，而且它定义的定向和流形的定向是兼容的。

【注】：由于是同构，用推进也没问题。

最终我们得到了：

流形是可定向的当且仅当存在无处为零的体积形式。

我们也可以再进一步。由于体积形式是行列式线丛的截面，而存在无处为零截面意味着线丛是平庸的，换言之

流形是可定向的当且仅当行列式线丛平庸。

体积形式的积分

接下来让我们考虑定向流形上体积形式的积分，由于流形是第二可数的，即存在一个可数的开覆盖，我们可以用它定义合适的定向卡册，以及一个对应的单元分割；

对于体积形式，是一个紧支集微分形式，我们可以定义它的积分为对应的上的积分，即

那么的在上的积分就可以定义为

更一般的，测度定义为

由于积分是一个级数，即可数项求和，它不一定有结果，我们只考虑之前提过的两种特殊情况。

首先考虑情况一，即紧支集体积形式，此时存在紧子集包含的支集，那么我们能找到的一个有限覆盖，此时积分就是有限求和了。

至于情况二，由于求和的每一项都是正数（或者都是负数），积分的结果是一个正数或者（负数或者）。

一般流形的积分

上面对积分的分析，有理有据，但问题是在实分析定义测度的时候，我们可没有要求过测度空间是“可定向的”，那么有没有办法在一般的流形上定义（光滑）测度呢？

密度

我们可以思考这么一个问题：对于平面中的一个平行四边形，定义它的两个向量分别为和，那么它的面积是多少？答案是；那么平行六面体【注1】的体积呢？答案是向量三重积【注2】；那么更高维度的平行体呢？

【注1】：三维空间中取三个不共面的向量，我们可以通过平移得到三个平行四边形，再进一步平移我们可以得到一个六面体。

【注2】：即

，表达式有点复杂。

一个中的平行体是由一组基生成的，我们可以定义矩阵，它满足，那么平行体的测度就是

另一方面，记由（不一定是一组基）生成的平行体的测度为，对于任意的矩阵，我们有

它有以下性质：

1. 如果不相互独立（即不构成一组基），那么，反之亦然；
2. 虽然的定义中是有序的，但是由于置换矩阵的行列式为正负一，所以可以证明的值与的顺序无关，即它确实是定义在向量集上的函数。

在中我们存在一组特殊的基（这里是无序的），即标准基，因此默认了由它定义的单位胞体（）的测度为；而对于一般的向量空间中并不存在这么一组特殊的基，因此我们把满足

的函数，称为的密度，其中是任意线性算子。

如果存在，那么对任意的基，此时我们称它为正密度，类似的可以定义负密度和零密度（恒为零）。

密度不是线性映射，但有趣的事情是，上全体密度的集合构成一个向量空间：

因此我们可以定义流形上的密度丛和它的截面密度场。

密度场的积分

上任意一个密度都可以由的值决定，其中是的一组基，换言之是一个一维向量空间，即密度丛是一个线丛。

密度天然的分为正负零，不依赖于流形定向与否（作为对照，无处为零的体积形式的正负依赖于定向的选取），因此我们可以证明，任意流形上都存在一个全正的密度场：

首先可以证明它局部存在，然后利用流形的一个覆盖和单元分割拼凑出全局的密度场。

由于密度丛是一个线丛，这意味着它是平庸的。

让我们回头看一下为什么可以在定向流形上对体积形式（行列式线丛的截面）进行积分：

1. 由于流形是可定向的，行列式线丛是平庸的；
2. 由于流形选定了定向，行列式线丛上定义了正方向，因此可以将每一分块的积分用正确的方式相加。

那么密度丛天然的拥有这两个性质，因此它的截面（密度场）也可以被积分。我们接下来只考虑局部的情况，即考虑上的密度场的积分：

上有一个特殊的密度场，可以称为标准密度场或者Lebesgue密度场，它逐点由标准基生成（或者说由标准标架生成），记做，我们定义它对应的测度为Lebesgue测度，即

由于一个密度场都可以写成的形式，我们可以定义一般的积分：

对密度场的积分同样要考虑的问题，分析方法和体积形式一样。

体积形式与密度场

密度场不能简单的被视为体积形式的推广。考虑定向流形上的一个体积形式，它对应一个正密度场

和一个负密度场

回忆体积形式满足

而密度的定义是

体积形式和密度场所定义的测度未必一样：

考虑一维的情况，，

所以

这种现象是怎么发生的呢？简单来说，体积形式在开子流形上也定义了一个定向，因此我们把的连通部分们分成了

1. 两定向相同的，此时，和
2. 两定向相反的，此时。

结合起来我们有

特别的，如果定向流形的定向定义自一个无处为零的体积形式，那么我们有

附录

作者的话

特别特别早的读者（主要是长尾科技的群友）可能还记得，我的第二篇文章的标题就是《定向流形上的积分》，当然很久以前我就把它当成黑历史删除掉了。如今一年半过去了，我也算是终于填上了这个远古巨坑。

距离上一篇文章的更新已经过了一个半月了吧，感谢至今都没有取关的读者。上周我发出了预告说这周开始周更，应该是会说到做到的吧，我至少会更新四篇文章吧，包括这篇。