【典型例题】—二次函数的性质

027．（14十堰）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）经过点（1，1）和（－1，0）．下列结论：①a－b＋c＝0；②b²＞4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x＝－

．其中结论正确的个数有（    ）．

A．4个        B．3个        

C．2个        D．1个

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【解析】

解：（1）∵抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）经过点（－1，0），∴a－b＋c＝0，故①正确；

（2）∵抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）经过点（1，1），∴a＋b＋c＝1，又a－b＋c＝0，

两式相加，得2（a＋c）＝1，a＋c＝

，两式相减，得2b＝1，b＝

．

∵b²－4ac＝

－4a（

－a）＝

－2a＋4a²＝（2a－

）²，

当2a－

＝0，即a＝

时，b²－4ac＝0，故②错误；

（3）当a＜0时，∵b²－4ac＝（2a－

）²＞0，

∴抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，

则

，即x＝1－

，∵a＜0，∴－

＞0，∴x＝1－

＞1，

即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；

（4）抛物线的对称轴为x＝－

＝－

，故④正确．

故答案为：B．

【总结】

【举一反三】

027．（14聊城）如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b＋c＜0；③a﹣b＋c＝﹣9a；④若（﹣3，y₁），（

，y₂）是抛物线上两点，则y₁＞y₂，其中正确的是（　　）．

   A．①②③        B．①③④

 C．①②④        D．②③④

上一期【举一反三】解析：

026【解析】

解：（1）由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；

（2）由抛物线与x轴有两个交点，可得b²﹣4ac＞0，故②正确；

（3）当x＝－2时，y＜0，即4a－2b＋c＜0，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，

∴4a－2b＋c＋2(a＋b＋c)＝6a＋3c＜0，即2a＋c＜0，

∵a＜0，∴a＋（2a＋c）＝3a＋c＜0．故③错误；

（4）∵x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，

∴（a＋b＋c）（a－b＋c）＜0，即[（a＋c）＋b][（a＋c）－b]＝（a＋c）²－b²＜0，

∴（a＋c）²＜b²，故④正确．

综上所述，正确的结论有2个．故答案为：B．

【总结】开口方向判断a的取值范围，根据对称轴的位置判断a与b的符号关系；图象与x轴的交点来判断Δ＝b²－4ac的取值范围；只含有a与c，应该利用对称轴与x＝－1的关系，得到a与b的关系，进行代换；根据平方关系，可以考虑移项用于平方差公式进行因式分解，再通过点坐标判断式子的取值范围．