中考数学压轴题分析：圆与相似综合题

本文内容选自2021年台州中考数学压轴题，题目以圆与平行四边形为背景，涉及几何求值问题，难度中等。值得研究学习。

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【中考真题】

（2021·台州）如图，是半径为3的的一条弦，，点是上的一个动点（不与点，重合），以，，为顶点作．
（1）如图2，若点是劣弧的中点．
①求证：是菱形；
②求的面积．
（2）若点运动到优弧上，且有一边与相切．
①求的长；
②直接写出对角线所夹锐角的正切值．

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【分析】

（1）①根据垂径定理及其推论可以得到AD=AB，进而得到结论。

②根据菱形的面积公式，可以直接求出对角线的长度即可。连接AC，分别求出AC与BD的长。

（2）①本题难度较大，当两条边与圆相切时，不满足题意。因此只能是一边与圆相切。因此可以假设BC或CD与圆相切，连接切点与圆心，得到垂直。

如图，设与CD相切。若延长DO交AB于点P。则可得DP垂直平分AB，进而得到AD=DB，且△OHD与△BPD相似，进而得到PB与AB的长。

当BC与圆相切时，还需讨论下，其实就是求上图中AD的长。

②有了①中的结论，即可构造直角三角形，求出∠DHD的正切值即可。

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【答案】（1）①证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．

②解：连接交于，连接．

，
，
四边形是菱形，
，
，，共线，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
．

（2）①解：当与相切时，连接交于，连接，，延长交于，过点作于．

是的切线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当与相切时，同法可证．

综上所述，的长为或．
②解：如图中，过点作于．
，
，
，
，
，
如图中，同法可得对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，对角线所夹锐角的正切值为，