如何通俗地理解曲率？

1 地球是圆的

历史上很长的时间，人们都觉得地球是平的：

不过如果在海边，还是容易发现地球其实不是平的。比如极目远眺，发现很远的建筑在海平面以下：

加上麦哲伦环球航行、月全食、太空旅行等各种事实的呈现，人们最终可以确定地球是圆的的了（下图是从月球上看地球）。

之所以这么难发现地球是圆的，主要是因为地球的半径太大了。

2 球的曲率

下面有三个球体，网球、篮球、地球，半径越小的越容易看出是圆的：

随着半径地变大（除了圆心之外，圆能够改变的也只有半径了），越来越不圆了：

因此，定义球体或者圆的“圆”的程度，术语叫作 曲率，为：

其中 r 为球体或者圆的半径，这样半径越小的圆曲率越大，直线可以看作半径为无穷大的圆，其曲率为：

这样定义曲率符合我们的直觉。

3 曲线的曲率

很显然，曲线也有不同的弯曲程度：

3.1 密切圆

可以将圆的曲率扩展到曲线上。我们知道两点决定一条直线，比如下面就是曲线的割线：

当

 的时候，得到的就是切线：

同样的道理，三个点可以确定一个圆：

当

 时，得到的圆称为 密切圆（Osculating circle），是对

 附近的曲线的 最佳圆近似 ：

3.2 密切圆的半径与曲率

可以观察到，在曲线较为平坦的地方，密切圆半径很大，较为弯曲的地方，密切圆半径就较小：

这个事实告诉我们，可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率（因为格式所限，详细推导请查看此处，还是挺有意思的，综合应用了线性代数的知识）：

已知函数 

 在 

 点有二阶导数 

 ，且 

 ，则此点有密切圆，其半径为：

此时，曲线的 曲率 也就是密切圆的曲率，为：

所以密切圆也称为曲线的 曲率圆 ，半径 r 称为 曲率半径。

4 曲率圆的圆心

光知道半径是没有办法画出密切圆（曲率圆）的，还必须知道它的圆心在哪里（因为格式所限，详细推导请查看此处）：

已知函数 

 在 

 点有二阶导数 

 ，且 

 ，则此点有密切圆（曲率圆），其圆心为 

 ：

值为：

此圆心也称作 曲率中心。

如果 

 移动，会得到一系列曲线 

 的密切圆的圆心：

圆心轨迹

 称为曲线 

 的 渐屈线 ，其参数方程很显然为：

曲线 

 称为圆心轨迹 

 的 渐伸线 。