题目：
如图，正方形ABCD边长为2，G是AD延长线上一点，AD=DG。动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿A→C→G的路线向G点匀速前进（与A、G不重合），设运动时间为t。连接BM，并延长交AG于N。
1、是否存在点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，分析M点位置；若不存在，请说明理由；
2、当N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；
3、过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。记矩形AEMF与△ACG的重叠部分的面积为S，求S的最大值。
分析：
题目1：判断△ABM为等腰三角形，需要先知道哪两条边是腰？
共有3种可能性：
AB=AM，即AM=2
AB=BM，即BM=2
AM=BM，则M位于AB的中垂线上
上述情况如图所示
对每一种情况分别求解M的位置：
AB=AM，即AM=2时，从不严谨的角度分析：以A为圆心，2为半径作圆，与AC有1个交点，与CG无交点；从严谨的角度分析（大角对大边）：由于AC=2√2＞2，所以AC上必然存在一点M，使得AM=AB。而DG=AD，所以∠ACG=90度，所以CG上任意点M，都有AM≥AC=2√2，无法满足AM=AB。
AB=BM，即BM=2时，从不严谨的角度分析：以B为圆心，2为半径作圆，与AC和CG的交点都是C点。即M位于C时，AB=BM；从严谨角度分析（大角对大边）：则AC上异于A、C的任意点M，∠BMC+∠BMA=180度，所以∠BMC≥90度或∠BMA≥90度，总有BM＜BC或BM＜BA，仅当M与C重合时BM=BC=AB。同样，对于CG上任意一点M，BM≥BC，仅当M与C重合取等号。
AM=BM，则M位于AB的中垂线上。作AB的中垂线，与AC和CG各有1个交点。此时AM=MC或CM=MG。
题目2：证明共顶点的两条边相等
要么证明对角相等，要么证明两个三角形全等。
思路一：证明∠NBH=∠NHB
注意到∠BNH=90度，所以我们只需证明∠NBH=45度，或∠NHB=45度即可。正方形中，边与对角线夹角即为45度，我们把所有45度角找出来，连接BD，这样我们就画出了所有已知的45度角。
注意到∠BDH=90度=∠BNH，所以点B、N、D、H在直径为BH的圆上，如图。
弦BN所对∠BHN=∠BDN=45度。得证。
思路二：证明BN和NH所在的某两个三角形全等
BN位于△BAN中，且不难发现∠ABN=∠DNH。过H作DG垂线，垂足为J，如图。目标：证明△BAN≌△NJH。
需要证明AN=HJ，或BA=NJ
事实上，由于∠HDJ=45度，DJ=HJ，所以证明AN=HJ与证明BA=NJ是一样的。为了叙述方便，记AN=a，记DJ=HJ=b。与a，b直接相关的条件如下：
a+ND=2，即ND=2-a
NJ=ND+b，即NJ=2-a+b
a所对∠ABN与b所对∠HNJ相等
挖掘第3个条件：tan∠ABN=tan∠HNJ，即有a/AB=b/NJ，整理得a^2-ab-2a+2b=0。因式分解得：（a-2）（a-b）=0，即a=2或a=b。
不难判断，a=2时，N与点D重合，NH与DH重合，不符合题意。所以a=b。于是可得△BAN≌△NJH。
思路二的第2种解法
以A为原点，AG为x正半轴，ABy正半轴，为建立直角坐标系。如图
记N坐标（a，0），则直线BN斜率为-2/a。所以，直线NH斜率为a/2，解析式为y=ax/2-a^2/2；直线DH斜率为1，解析式为y=x-2。两条直线交于点H，利用直线解析式可得H坐标（2+a，a）。
这样可以通过三角形全等求解，也可以利用距离公式或者勾股定理计算BN=NH=4+a^2，得证。
题目3：重叠部分的形状是什么？
根据M位于AC还是CG，分为两种情况。
当M位于AC时，如上图，矩形AEMF与△ACG的重叠部分为△AMF，此时S=MF×AF/2。不难发现，AF=MF，所以S=MF^2/2。此时，0＜MF≤2。所以S的最大值为2，当MF=2时；
当M位于CG时，重叠部分为梯形APMF，P、Q为EM与AC、CD的交点。易知，PQ=QM=DG-FG=DG-MF=2-MF。所以S=（PM+AF）×MF/2=-3MF^2/2+4MF，此时0＜MF≤2。所以S最大值为8/3，当MF=4/3时。
解题：
1、当AB=AM时，AM=2。当M位于CG时，根据大角对大边，易知AM≥AC＞2，所以AM只可能位于AC上。此时t=2；
当AB=BM时，BM=2。当M位于点C时，BM=BC=2，此时AM=2√2，t=2√2；当M位于AC上异于A、C的位置时，∠BMC+∠BMA=180度，所以∠BMC≥90度或∠BMA≥90度。根据大角对大边，可知BM＜BC=2或BM＜AB=2；当M位于CG上异于C、G的位置时，根据大角对大边，BM＞AC=2；
当AM=BM时，M位于AB的中垂线上。作AB的中垂线，与AC和CG各有1个交点。此时AM=MC=√2，t=√2，或CM=MG=√2，从而t=3√2。
所以，当t=2时，AB=AM，△ABM为等腰三角形；当t=2√2时，AB=BM，△ABM为等腰三角形；当t=√2或3√2时，AM=BM，△ABM为等腰三角形。
2、连接BD、BH。由于∠BDC=45度=∠CDH，所以∠BDH=90度，所以B、N、D、H位于以BH为直径的圆上。于是，弦BN所对∠BHN=∠BDN=45度。注意到∠BNH=90度，所以∠NBH=45度。从而可知BN=NH。
3、当M位于AC上时，矩形AEMF与△ACG的重叠部分为△AMF，F位于AD上。此时S=MF×AF/2。∠DAC=45度，所以MF=AF，所以S=MF^2/2。
由于M在AC上且与A不重合，MF∥AB，所以0＜MF≤2。此时S最大值为2，当M与C重合时取得，即此时MF=2；
当M位于CG上时，矩形AEMF与△ACG的重叠部分为梯形APMF，F位于DG上。记EM与AC交点为P，与CD交点为Q。∠DGC=45度，所以MF=FG。由于EM∥AF，CD⊥AG，所以∠PQC=90度，由于∠DCG=∠DCA=45度，所以PQ=QM=DF=DG-MF。于是S=（PM+AF）×MF/2=-3MF^2/2+4MF。
由于M在CG上且与G不重合，MF∥AB，所以0＜MF≤2。此时S最大值为8/3，当MF=4/3时取得。
所以，S的最大值为8/3，当MF=4/3时取得。此时M位于CG上，QM=2-MF=2/3，所以此时t=2√2+2√2/3=8√2/3。
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