7.1 引言
7.2 三维Schroedinger方程及求解
7.3 量子数及其意义
7.4 角动量方向及其量子化
7.5 能级
7.6 波函数形态
7.7 径向与方位组合形成最终的波函数
1）s轨道(L=0)波函数
2）p轨道(L=1)波函数之m=0情形
3）p轨道(L=1)波函数之m=1情形
4）d轨道(L=2)波函数
5）f轨道(L=3)波函数
薛定谔用波动方程来计算氢原子的谱线。解析这微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全相同的答案，获得了氢原子光谱的完美解释。1926年，他正式发表了这论文。
这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。
结合泡利不相容原理和电子自旋，薛定锷方程可以预测原子的结构。
三维情形下薛定谔方程为：
从而薛定谔方程变为：
将其代入Y方程并进行分离变量处理，最终获得如下2个方程：
可以证明，为满足波函数的标准条件，能量E必须满足：
可以写为：L2Y＝l(l+1)Y，
从而说明，量子数l是与角动量模有关的一个量子数。角动量模sqrt(l(l+1))是量子化的。l称为角量子数。
最后，发现m只能取值m＝0,±1,±2,…,±l。由前面的Φ方程
经积分电流一周，获得相应的磁矩为：
各量子数的意义总结如下：
n决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。
l决定原子轨道的形状，并且是多电子原子中决定电子能量高低的次要因素。
m决定原子轨道在空间的伸展方向。m有几个取值, 就有几种空间伸展方向。
从上页的方程可知，对于每个主量子数n，角量子数l可以有n个不同取值，而对于每个角量子数l，磁量子数m可以有2l＋1个不同取值。因为每三个量子数的一个组合就确定了系统的一个量子态，所以每一个给定的主量子数n所对应的量子态个数为：
由左边关系可推测出磁量子数与角动量z分量的对应性。我们再次看到，量子力学中角动量不能象经典力学那样用一个矢量来表达，由原点发出的每个角动量矢只能利用上图所示的一个圆锥面来表达。即，角动量矢量的模和在z方向的投影长度是确定的，而它在xy平面的指向则呈现类似电子云般的均匀概率分布。
主量子数n决定能级，电子在不同能级之间跃迁伴随着相应能量的改变，以吸收或放出光子的形式表现出来，这就是光谱线的来源。
我们看到，和波尔模型类似，只要知道电子初态和终态两个量子数，通过简单的计算就可精确地得到光谱线波长。过去人们实践中发现的赖曼系、巴耳末系等光谱线系列，只是代表了终态相同而初态不同的一系列发射光子的过程。然而，波尔是基于电子有轨道的概念获得的公式，我们这里的电子并没有轨道，有的只是电子云，然而电子的能级确是量子化的。正是两者能级的一致性，才导致了辐射公式的一致。然而，当考虑了下一节将论述的角动量效应导致的光谱线精细结构后，波尔公式将不再适应了。
当没有外加磁场时，主量子数n相同的所有态的谱线都重合在一起，不可区分。在匀强磁场中，谱线发生分裂。如下图所示，对于角量子数l=1的情形，谱线分裂为磁量子数m=-1,0,1三条谱线。
对与l=2的情形，谱线将分裂为磁量子数m=-2,-1,0,1,2五条谱线。并且，l=2的谱线分裂后与l=1的并不重合。
此处借用了经典术语“轨道”，这并不是表示电子确是运行在经典力学概念的某种轨道中，这里的轨道实际上只是用来区别不同波函数电子云的形态。s轨道的波函数在各个方向上完全相同，它具有中心对称的特点。下面我们来具体看一下在n取不同值的情形下其波函数的具体形式。
图中的4行图片分别对应着主量子数n的4种取值，最左列给出了相应径向波函数的公式与图形，右上角处则给出了方位波函数的公式与图形。两者的乘积给出了完整的波函数，它的电子云表示由次末列的图像表达，它用亮度刻画了电子在(x,z)平面各处的存在几率。由于在xy平面存在各向同性，将图形沿z轴旋转一周将得到电子在3维空间各处的几率分布。
我们看到，在波动方程描述的氢原子里，我们再也不能得知电子在每一时刻确切的空间位置，再也没有轨道的概念。我们得到的只能是电子在空间各处出现的几率。薛定谔的波函数显示电子总是处于几率云中，几率大的地方出现的概率大，几率小的地方出现的概率小。并且随着主量子数n的增多，电子云的密集环带个数也增多。
最末一列则对3维电子云绘出了包络曲面(即只把几率取特定值的点子绘出形成3维曲面)，图中为了看清内部结构，我们把3维曲面从中间切开了。
图中右下角处空白是由于目前没有找到该电子云（n=4,L=1,m=1）包络的图像。
图中下面的2行图片分别对应着主量子数n的2种取值，不同于前图，这里没有给出相应径向波函数的公式与图形。图中顶部一行给出了3个方位波函数的公式与图形，它们对应着磁量子数m的3个不同取值的情形。每个方位波函数图形下面都分为两列，左列给出了完整的波函数的电子云，它用亮度刻画了电子在(x,z)平面各处的存在几率。右列给出了该电子云的3维包络曲面。图中空白是由于目前没有找到有关电子云包络的图像。
由于目前没有找到有关电子云包络的图像，故后三个方位波函数图形下面只给出了电子云分布，没有给出电子云包络的图像。
自此，我们已经简述完了氢原子的量子力学方程的求解过程及获得的主要结论和图形。就像是我们在量子的微观世界里遨游了一番，我们心中一定会生起许多惊奇、许多疑问和许多感悟吧，这就是量子的世界，接触它的每一个人都会有这番感受。下一章我们将探索元素周期表的形成机理，哈哈，似乎感觉我们好像要从物理迈向化学啊！
（未完待续），遨游我心_健康，2013.09.26
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